1-ОПЦИЯ 4. см \( ^{2 \text { тен }} \) қабырғалы үшбұрыштың периметрін табыңыз \( 25 \sqrt{2} \). Егер тең қабырғалары \( 45^{\circ} \) бұрыш кұраса.

Найдём сначала сторону \( a \) равных сторон треугольника. Из условия известно, что угол между равными сторонами равен \( 45^{\circ} \) и площадь \( S=25\sqrt{2} \). Площадь равнобедренного треугольника можно записать формулой \[ S=\frac{1}{2}a^{2}\sin{45^{\circ}}. \] Подставляем значение \( \sin{45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ S=\frac{1}{2}a^{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}a^{2}. \] Приравниваем полученное выражение к заданной площади: \[ \frac{\sqrt{2}}{4}a^{2}=25\sqrt{2}. \] Чтобы найти \( a \), домножим обе части уравнения на \( \frac{4}{\sqrt{2}} \): \[ a^{2}=25\sqrt{2}\cdot\frac{4}{\sqrt{2}}=25\cdot4=100. \] Отсюда \[ a=10. \] Теперь найдём основание треугольника \( b \). По теореме косинусов для треугольника с равными сторонами \[ b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}\cos{45^{\circ}}=2a^{2}-2a^{2}\cos{45^{\circ}}. \] Подставляем числовое значение \( a=10 \) и \( \cos{45^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2} \): \[ b^{2}=2\cdot100-2\cdot100\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=200-100\sqrt{2}. \] В виде более компактного выражения \[ b=\sqrt{200-100\sqrt{2}}=10\sqrt{2-\sqrt{2}}. \] Периметр треугольника \( P \) равен сумме трёх сторон: \[ P=2a+b=20+10\sqrt{2-\sqrt{2}}. \] Таким образом, окончательный ответ: \[ P=20+10\sqrt{2-\sqrt{2}}\text{ см}. \]