Hallar una serie que represente a \( \arctan (x) \), e indicar el intervalo donde vale la representación. Para eso, recordar que la derivada de \( \arctan (x) \) es \( \frac{1}{1+x^{2}} \). Pensar como obtener \( \arctan (x) \) a partir de una serie de potencias sencilla. Demuestre, como consecuencia del ejercicio previo, que \[ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \] La serie del ejercicio anterior converge lentamente. Muéstrelo encontrando el menor entero positivo \( n \), tal que \( S_{n} \) aproxime a \( \pi / 4 \) con error menor que \( 10^{-4} \).

Para hallar una serie que represente a \( \arctan(x) \), comenzamos con la derivada de \( \arctan(x) \): \[ \frac{d}{dx} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^2} \] Podemos expresar \( \frac{1}{1+x^2} \) como una serie de potencias. Recordemos que la serie geométrica se puede escribir como: \[ \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n \quad \text{para } |u| < 1 \] Si tomamos \( u = -x^2 \), obtenemos: \[ \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-x^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \quad \text{para } |x| < 1 \] Ahora, para encontrar \( \arctan(x) \), integramos la serie término a término: \[ \arctan(x) = \int \frac{1}{1+x^2} \, dx = \int \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n} \, dx \] Integrando cada término de la serie: \[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + C \] Para determinar la constante de integración \( C \), evaluamos \( \arctan(0) = 0 \): \[ 0 = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{0^{2n+1}}{2n+1} + C \implies C = 0 \] Por lo tanto, la serie que representa a \( \arctan(x) \) es: \[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad \text{para } |x| < 1 \] ### Intervalo de Convergencia La serie converge para \( |x| < 1 \). ### Demostración de la serie Para demostrar que: \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \] Evaluamos la serie en \( x = 1 \): \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \] Sustituyendo en la serie: \[ \frac{\pi}{4} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1^{2n+1}}{2n+1} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{1}{2n+1} \] Esto demuestra la igualdad. ### Cálculo del menor entero positivo \( n \) Ahora, para encontrar el menor entero positivo \( n \) tal que \( S_n \) (la suma de los primeros \( n \) términos de la serie) aproxime a \( \frac{\pi}{4} \) con un error menor que \( 10^{-4} \), calculamos: \[ S_n = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k \frac{1}{2k+1} \] El error en la aproximación se puede estimar usando el siguiente término de la serie: \[ \text{Error} \approx \left| \frac{(-1)^{n+1}}{2(n+1)+1} \right| = \frac{1}{2n+3} \] Queremos que: \[ \frac{1}{2n+3} < 10^{-4} \] Resolviendo la desigualdad: \[ 2n + 3 > 10^4 \implies 2n > 9997 \implies n > 4998.5 \] Por lo tanto, el menor entero positivo \( n \) es \( 4999 \). ### Resumen 1. La serie que representa a \( \arctan(x) \) es: \[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} \quad \text{para } |x| < 1 \] 2. La serie converge para \( |x| < 1 \). 3. Se demuestra que: \[ \frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots \] 4. El menor entero positivo \( n \) tal que \( S_n \) aproxime a \( \frac{\pi}{4} \) con error menor que \( 10^{-4} \) es \( n = 4999 \).