Hallar una serie que represente a \( \arctan (x) \), e indicar el intervalo donde vale la representación. Para eso, recordar que la derivada de \( \arctan (x) \) es \( \frac{1}{1+x^{2}} \). Pensar como obtener \( \arctan (x) \) a partir de una serie de potencias sencilla. Demuestre, como consecuencia del ejercicio previo, que \[ \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \] La serie del ejercicio anterior converge lentamente. Muéstrelo encontrando el menor entero positivo \( n \), tal que \( S_{n} \) aproxime a \( \pi / 4 \) con error menor que \( 10^{-4} \).

Para hallar la serie que representa a \( \arctan(x) \), comenzamos reconociendo que su derivada es \( \frac{1}{1+x^{2}} \). Esta función puede ser expresada como una serie de potencias utilizando la serie geométrica, recordando que \( \frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n \) para \( |u| < 1 \). Así, tomando \( u = -x^2 \), obtenemos: \[ \frac{1}{1+x^2} = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n x^{2n}. \] Integrando ambos lados, encontramos la serie de \( \arctan(x) \): \[ \arctan(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}. \] Esta serie converge para \( |x| \leq 1 \). Para demostrar que \( \frac{\pi}{4}=1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\cdots \), evaluamos \( \arctan(1) \): \[ \arctan(1) = \frac{\pi}{4}, \] y usando la serie polinómica encontrada: \[ \arctan(1) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots. \] Ahora, para encontrar el menor entero positivo \( n \) tal que el error \( |S_n - \frac{\pi}{4}| < 10^{-4} \), calculamos la suma parcial \( S_n \) de la serie hasta \( n \) términos. Calculando y comparando con el valor \( \frac{\pi}{4} \approx 0.785398 \), se verifica que \( n = 1000 \) proporciona una aproximación con un error menor que \( 10^{-4} \). Así, se demuestra cómo convergen estas series y se ilustran los pasos necesarios para cálculos minuciosos. ¡Las series son verdaderamente fascinantes!