6. Sie besteigen den Sitz eines Kettenkarussells. (a) Wie gross ist ihre Bahngeschwindigkeit, wenn der Befestigungshaken 3.5 m von der Drehachse entfernt ist, die Kette 3.8 m lang und der Neigungswinkel zur Vertikalen $$ 47^{\circ} $$ ist?

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Wir bestimmen zunächst den horizontalen Abstand vom Mittelpunkt, an dem sich der Befestigungshaken befindet, zum Sitz. Der Sitz hängt an einer Kette der Länge $$ l = 3.8\,\text{m} $$, die unter einem Neigungswinkel $$ \theta = 47^\circ $$ von der Vertikalen her hängt. Sein horizontaler Anteil beträgt daher

$$
l_{\text{hor}} = l \cdot \sin(\theta) = 3.8\,\text{m} \cdot \sin(47^\circ).
$$

Da der Befestigungshaken bereits $$ r_0 = 3.5\,\text{m} $$ von der Drehachse entfernt ist, ergibt sich für den Gesamtabstand (den Bahnradius) des Sitzes

$$
r = r_0 + l \cdot \sin(\theta) = 3.5\,\text{m} + 3.8\,\text{m} \cdot \sin(47^\circ).
$$

Berechnen wir den numerischen Wert: Mit $$\sin(47^\circ) \approx 0.731$$ erhalten wir

$$
r \approx 3.5\,\text{m} + 3.8\,\text{m} \cdot 0.731 \approx 3.5\,\text{m} + 2.78\,\text{m} \approx 6.28\,\text{m}.
$$

Die Kräftebetrachtung liefert den Zusammenhang zwischen Gewicht und Zentripetalkraft. Die Kette übt eine Spannung $$ T $$ aus, die in vertikaler Richtung den Anteil $$ T \cos(\theta) $$ hat und in horizontaler Richtung den Anteil $$ T \sin(\theta) $$. Die vertikale Komponente wirkt im Gleichgewicht gegen das Gewicht:

$$
T \cos(\theta) = mg.
$$

Daraus folgt

$$
T = \frac{mg}{\cos(\theta)}.
$$

Die horizontale Komponente der Spannung liefert die notwendige Zentripetalkraft $$ m\frac{v^2}{r} $$:

$$
T \sin(\theta) = m\frac{v^2}{r}.
$$

Setzt man den Ausdruck für $$ T $$ ein, so folgt

$$
\frac{mg}{\cos(\theta)} \cdot \sin(\theta) = m\frac{v^2}{r}.
$$

Nach Kürzen der Masse $$ m $$ und Umstellen erhält man

$$
v^2 = r\,g\,\frac{\sin(\theta)}{\cos(\theta)} = r\,g\,\tan(\theta).
$$

Damit ist

$$
v = \sqrt{r\,g\,\tan(\theta)}.
$$

Setzen wir nun die Werte ein. Mit $$ r \approx 6.28\,\text{m} $$, $$ g=9.81\,\text{m/s}^2 $$ und $$\tan(47^\circ) \approx 1.072$$ erhalten wir

$$
v \approx \sqrt{6.28\,\text{m} \cdot 9.81\,\text{m/s}^2 \cdot 1.072} \approx \sqrt{66.0\,\text{m}^2/\text{s}^2} \approx 8.12\,\text{m/s}.
$$

Somit beträgt die Bahngeschwindigkeit

$$
v \approx 8.1\,\text{m/s}.
$$
Die Bahngeschwindigkeit beträgt etwa 8.1 Meter pro Sekunde.

6. Sie besteigen den Sitz eines Kettenkarussells. (a) Wie gross ist ihre Bahngeschwindigkeit, wenn der Befestigungshaken 3.5 m von der Drehachse entfernt ist, die Kette 3.8 m lang und der Neigungswinkel zur Vertikalen \( 47^{\circ} \) ist?

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Physics Questions