288. REACTIVO DE EJERCITACIÓN TEMA: Ecuación de la recta Hallar el valor de \( k \) para que la recta \( k x+(k \) - 1) \( y-18=0 \) sea paralela a la recta \( 4 x+3 y \) \( 7=0 \)

Dada la recta \[ kx+(k-1)y-18=0, \] debemos encontrar el valor de \( k \) para que sea paralela a la recta \[ 4x+3y-7=0. \] **Paso 1: Hallar la pendiente de la primera recta** Para obtener la pendiente, despejamos \( y \) en la ecuación de la recta: \[ kx+(k-1)y-18=0 \quad \Longrightarrow \quad (k-1)y = -kx + 18. \] Dividiendo ambos lados entre \( k-1 \) (con \( k \neq 1 \)): \[ y = -\frac{k}{k-1}x + \frac{18}{k-1}. \] La pendiente de esta recta es: \[ m_1=-\frac{k}{k-1}. \] **Paso 2: Hallar la pendiente de la segunda recta** La ecuación de la segunda recta es: \[ 4x+3y-7=0. \] Despejamos \( y \): \[ 3y=-4x+7 \quad \Longrightarrow \quad y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}. \] Por lo tanto, la pendiente es: \[ m_2=-\frac{4}{3}. \] **Paso 3: Igualar las pendientes** Para que las rectas sean paralelas, se debe cumplir que: \[ m_1=m_2. \] Sustituyendo las pendientes: \[ -\frac{k}{k-1}=-\frac{4}{3}. \] Multiplicando ambos lados por \(-1\): \[ \frac{k}{k-1}=\frac{4}{3}. \] **Paso 4: Resolver la ecuación para \( k \)** Realizamos la multiplicación cruzada: \[ 3k = 4(k-1). \] Expandiendo el lado derecho: \[ 3k = 4k-4. \] Restando \( 4k \) a ambos lados: \[ 3k-4k=-4 \quad \Longrightarrow \quad -k=-4. \] Multiplicamos ambos lados por \(-1\): \[ k=4. \] **Respuesta Final:** \[ k=4. \]