288. REACTIVO DE EJERCITACIÓN TEMA: Ecuación de la recta Hallar el valor de $$ k $$ para que la recta $$ k x+(k $$ - 1) $$ y-18=0 $$ sea paralela a la recta $$ 4 x+3 y $$ $$ 7=0 $$

Question

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Dada la recta
$$
kx+(k-1)y-18=0,
$$
debemos encontrar el valor de $$ k $$ para que sea paralela a la recta
$$
4x+3y-7=0.
$$

**Paso 1: Hallar la pendiente de la primera recta**

Para obtener la pendiente, despejamos $$ y $$ en la ecuación de la recta:
$$
kx+(k-1)y-18=0 \quad \Longrightarrow \quad (k-1)y = -kx + 18.
$$
Dividiendo ambos lados entre $$ k-1 $$ (con $$ k \neq 1 $$):
$$
y = -\frac{k}{k-1}x + \frac{18}{k-1}.
$$
La pendiente de esta recta es:
$$
m_1=-\frac{k}{k-1}.
$$

**Paso 2: Hallar la pendiente de la segunda recta**

La ecuación de la segunda recta es:
$$
4x+3y-7=0.
$$
Despejamos $$ y $$:
$$
3y=-4x+7 \quad \Longrightarrow \quad y=-\frac{4}{3}x+\frac{7}{3}.
$$
Por lo tanto, la pendiente es:
$$
m_2=-\frac{4}{3}.
$$

**Paso 3: Igualar las pendientes**

Para que las rectas sean paralelas, se debe cumplir que:
$$
m_1=m_2.
$$
Sustituyendo las pendientes:
$$
-\frac{k}{k-1}=-\frac{4}{3}.
$$
Multiplicando ambos lados por $$-1$$:
$$
\frac{k}{k-1}=\frac{4}{3}.
$$

**Paso 4: Resolver la ecuación para $$ k $$**

Realizamos la multiplicación cruzada:
$$
3k = 4(k-1).
$$
Expandiendo el lado derecho:
$$
3k = 4k-4.
$$
Restando $$ 4k $$ a ambos lados:
$$
3k-4k=-4 \quad \Longrightarrow \quad -k=-4.
$$
Multiplicamos ambos lados por $$-1$$:
$$
k=4.
$$

**Respuesta Final:**
$$
k=4.
$$
El valor de $$ k $$ es 4.

288. REACTIVO DE EJERCITACIÓN TEMA: Ecuación de la recta Hallar el valor de \( k \) para que la recta \( k x+(k \) - 1) \( y-18=0 \) sea paralela a la recta \( 4 x+3 y \) \( 7=0 \)

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