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420 Sulla retta passante per \( A(-3 ;-1) \) e \( B(-1 ; 3) \), trova: a. il punto \( C \) avente coordinate opposte; b. il punto \( D \) avente l'ascissa che è il \( 25 \% \) dell'ordinata.

Ask by Lawson Gray. in Italy
Mar 14,2025

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Answer

### Risoluzione del Problema **a. Punto \( C \) con coordinate opposte:** - La retta passa per \( A(-3, -1) \) e \( B(-1, 3) \). - Calcoliamo l'equazione della retta: \( y = 2x + 5 \). - Per \( C \), le coordinate sono opposte, quindi \( y = -x \). - Sostituendo in \( y = 2x + 5 \): \( -x = 2x + 5 \). - Risolvendo: \( x = -\frac{5}{3} \), \( y = \frac{5}{3} \). - Punto \( C \): \( \left(-\frac{5}{3}, \frac{5}{3}\right) \). **b. Punto \( D \) con ascissa pari al \(25\%\) dell'ordinata:** - \( D \) deve avere \( x = 25\% \) di \( y \), quindi \( x = \frac{1}{4}y \). - Sostituendo in \( y = 2x + 5 \): \( y = 2\left(\frac{1}{4}y\right) + 5 \). - Risolvendo: \( y = 10 \), \( x = \frac{5}{2} \). - Punto \( D \): \( \left(\frac{5}{2}, 10\right) \).

Solution

Consideriamo la retta passante per \( A(-3,-1) \) e \( B(-1,3) \). ### Passo 1: Equazione della retta Calcoliamo il coefficiente angolare: \[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{-1-(-3)}=\frac{4}{2}=2. \] Usando il punto \( A(-3,-1) \) con la formula punto-pendenza: \[ y - (-1)=2\,(x-(-3)) \quad \Rightarrow \quad y+1=2(x+3). \] Risolvendo: \[ y=2x+6-1=2x+5. \] Quindi l'equazione della retta è: \[ y=2x+5. \] ### Passo 2: Punto \( C \) con coordinate opposte Il punto \( C \) ha coordinate opposte, cioè le sue coordinate \((x,y)\) soddisfano: \[ y=-x. \] Essendo \( C \) sulla retta, sostituiamo in \( y=2x+5 \): \[ -x=2x+5. \] Risolviamo: \[ -x-2x=5 \quad \Rightarrow \quad -3x=5 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{5}{3}. \] Allora: \[ y=-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{5}{3}. \] Il punto \( C \) è: \[ C\left(-\frac{5}{3},\,\frac{5}{3}\right). \] ### Passo 3: Punto \( D \) con ascissa pari al \(25\%\) dell'ordinata Il punto \( D \) deve soddisfare: \[ x=25\% \text{ di } y \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{4}\,y. \] Essendo \( D \) sulla retta \( y=2x+5 \), sostituiamo \( x \): \[ y=2\left(\frac{1}{4}\,y\right)+5 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{2}\,y+5. \] Sottraendo \(\frac{1}{2}\,y\) da entrambi i membri: \[ y-\frac{1}{2}\,y=5 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\,y=5. \] Risolvendo: \[ y=10. \] Quindi: \[ x=\frac{1}{4}\,y=\frac{1}{4}\times10=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}. \] Il punto \( D \) è: \[ D\left(\frac{5}{2},\,10\right). \]

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Bonus Knowledge

Per trovare la retta passante per i punti \( A(-3, -1) \) e \( B(-1, 3) \), calcoliamo prima il coefficiente angolare \( m \) della retta usando la formula \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \). Quindi, \( m = \frac{3 - (-1)}{-1 - (-3)} = \frac{4}{2} = 2 \). Con il coefficiente angolare trovato, usiamo la formula dell'equazione della retta \( y - y_1 = m(x - x_1) \). Scegliendo il punto \( A(-3, -1) \), otteniamo: \[ y + 1 = 2(x + 3) \] \[ y = 2x + 6 - 1 = 2x + 5 \] a. Il punto \( C \) avente coordinate opposte è \( C(1, -1) \). b. Per trovare il punto \( D \) con l'ascissa che è il \( 25\% \) dell'ordinata, indichiamola come \( y \). Dunque, \( x = \frac{1}{4}y \). Sostituiamo nella retta \( y = 2x + 5 \): \( y = 2\left(\frac{1}{4}y\right) + 5 \) Risolvendo, troviamo \( y = 10 \) e quindi \( x = \frac{1}{4} \times 10 = 2.5 \). Pertanto, il punto \( D \) è \( D(2.5, 10) \).

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