420 Sulla retta passante per \( A(-3 ;-1) \) e \( B(-1 ; 3) \), trova: a. il punto \( C \) avente coordinate opposte; b. il punto \( D \) avente l'ascissa che è il \( 25 \% \) dell'ordinata.

Consideriamo la retta passante per \( A(-3,-1) \) e \( B(-1,3) \). ### Passo 1: Equazione della retta Calcoliamo il coefficiente angolare: \[ m=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\frac{3-(-1)}{-1-(-3)}=\frac{4}{2}=2. \] Usando il punto \( A(-3,-1) \) con la formula punto-pendenza: \[ y - (-1)=2\,(x-(-3)) \quad \Rightarrow \quad y+1=2(x+3). \] Risolvendo: \[ y=2x+6-1=2x+5. \] Quindi l'equazione della retta è: \[ y=2x+5. \] ### Passo 2: Punto \( C \) con coordinate opposte Il punto \( C \) ha coordinate opposte, cioè le sue coordinate \((x,y)\) soddisfano: \[ y=-x. \] Essendo \( C \) sulla retta, sostituiamo in \( y=2x+5 \): \[ -x=2x+5. \] Risolviamo: \[ -x-2x=5 \quad \Rightarrow \quad -3x=5 \quad \Rightarrow \quad x=-\frac{5}{3}. \] Allora: \[ y=-\left(-\frac{5}{3}\right)=\frac{5}{3}. \] Il punto \( C \) è: \[ C\left(-\frac{5}{3},\,\frac{5}{3}\right). \] ### Passo 3: Punto \( D \) con ascissa pari al \(25\%\) dell'ordinata Il punto \( D \) deve soddisfare: \[ x=25\% \text{ di } y \quad \Rightarrow \quad x=\frac{1}{4}\,y. \] Essendo \( D \) sulla retta \( y=2x+5 \), sostituiamo \( x \): \[ y=2\left(\frac{1}{4}\,y\right)+5 \quad \Rightarrow \quad y=\frac{1}{2}\,y+5. \] Sottraendo \(\frac{1}{2}\,y\) da entrambi i membri: \[ y-\frac{1}{2}\,y=5 \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{2}\,y=5. \] Risolvendo: \[ y=10. \] Quindi: \[ x=\frac{1}{4}\,y=\frac{1}{4}\times10=\frac{10}{4}=\frac{5}{2}. \] Il punto \( D \) è: \[ D\left(\frac{5}{2},\,10\right). \]