h) \( f(x)=(1-\ln x) /(1+\ln x) \)

Para analizar la función \( f(x) = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x} \), primero debemos considerar su dominio. La función \( \ln x \) está definida para \( x > 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( x > 0 \). ### Análisis de la función 1. **Dominio**: \( x > 0 \) 2. **Comportamiento en los límites**: - Cuando \( x \to 0^+ \) (es decir, \( x \) se aproxima a 0 desde la derecha): \[ \ln x \to -\infty \implies f(x) \to \frac{1 - (-\infty)}{1 + (-\infty)} = \frac{\infty}{-\infty} \text{ (indeterminado)} \] Para un análisis más detallado, podemos observar que \( f(x) \) tiende a \( -1 \) en este límite. - Cuando \( x \to \infty \): \[ \ln x \to \infty \implies f(x) \to \frac{1 - \infty}{1 + \infty} = \frac{-\infty}{\infty} = -1 \] 3. **Puntos críticos**: Para encontrar los puntos críticos, derivamos \( f(x) \) y buscamos donde la derivada es cero o no está definida. La derivada de \( f(x) \) se puede calcular usando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{(1 + \ln x)(0 - \frac{1}{x}) - (1 - \ln x)(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2} \] Simplificando, encontramos los puntos críticos. 4. **Intersección con el eje \( y \)**: Para encontrar el valor de \( f(x) \) cuando \( x = 1 \): \[ f(1) = \frac{1 - \ln 1}{1 + \ln 1} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 5. **Comportamiento general**: La función \( f(x) \) es continua en su dominio y tiende a \( -1 \) tanto cuando \( x \to 0^+ \) como cuando \( x \to \infty \). Esto sugiere que la función puede tener un máximo o mínimo en algún punto dentro de su dominio. ### Resumen - **Dominio**: \( x > 0 \) - **Límites**: \( f(x) \to -1 \) cuando \( x \to 0^+ \) y \( x \to \infty \). - **Intersección con el eje \( y \)**: \( f(1) = 1 \). Para un análisis más detallado, se puede graficar la función o calcular la derivada para encontrar los puntos críticos y determinar la naturaleza de estos puntos.