h) \( f(x)=(1-\ln x) /(1+\ln x) \)

Para analizar la función \( f(x) = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x} \), primero debemos considerar su dominio. La función \( \ln x \) está definida para \( x > 0 \). Por lo tanto, el dominio de \( f(x) \) es \( x > 0 \). ### Análisis de la función 1. **Dominio**: \( x > 0 \) 2. **Comportamiento en los límites**: - Cuando \( x \to 0^+ \): \[ \ln x \to -\infty \implies f(x) = \frac{1 - (-\infty)}{1 + (-\infty)} = \frac{\infty}{-\infty} \text{ (indeterminado)} \] Para un análisis más detallado, podemos observar que \( f(x) \to -1 \) cuando \( x \to 0^+ \). - Cuando \( x \to \infty \): \[ \ln x \to \infty \implies f(x) = \frac{1 - \infty}{1 + \infty} = \frac{-\infty}{\infty} \text{ (indeterminado)} \] En este caso, \( f(x) \to -1 \) cuando \( x \to \infty \). 3. **Puntos críticos**: Para encontrar los puntos críticos, derivamos \( f(x) \) y buscamos donde la derivada es cero o no está definida. La derivada de \( f(x) \) se puede calcular usando la regla del cociente: \[ f'(x) = \frac{(1 + \ln x)(\frac{1}{x}) - (1 - \ln x)(\frac{1}{x})}{(1 + \ln x)^2} \] Simplificando, obtenemos: \[ f'(x) = \frac{(1 + \ln x) - (1 - \ln x)}{x(1 + \ln x)^2} = \frac{2 \ln x}{x(1 + \ln x)^2} \] La derivada es cero cuando \( \ln x = 0 \), es decir, \( x = 1 \). 4. **Evaluación en el punto crítico**: \[ f(1) = \frac{1 - \ln 1}{1 + \ln 1} = \frac{1 - 0}{1 + 0} = 1 \] 5. **Comportamiento de la función**: - Para \( 0 < x < 1 \), \( \ln x < 0 \) y \( f(x) > 1 \). - Para \( x = 1 \), \( f(1) = 1 \). - Para \( x > 1 \), \( \ln x > 0 \) y \( f(x) < 1 \). ### Conclusión La función \( f(x) = \frac{1 - \ln x}{1 + \ln x} \) tiene un máximo en \( x = 1 \) donde \( f(1) = 1 \). A medida que \( x \) se aproxima a 0 desde la derecha, \( f(x) \) se aproxima a -1, y a medida que \( x \) tiende a infinito, también se aproxima a -1. La función es continua en su dominio \( (0, \infty) \).