Запишіть рівняння прямої: (4бала) яка проходить через точки $$ A(-4 ; 5) $$ і $$ B(2 ;-7) $$; яка проходить через точку $$ K(5 ;-9) $$ и паралельна прямій $$ 9 x-y=-1 $$ яка проходить через точку $$ F(4 \sqrt{3} ;-12) $$ та утворює з додатним напря- ом осі абсцис кут $$ 150^{\circ} $$. Запишіть рівняння кола описаного біля трикутника обмеженого осями оординат та прямої $$ 3 x-4 y=24 $$ (2 бали)

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим каждую из задач по порядку.

### 1. Уравнение прямой, проходящей через точки $$ A(-4 ; 5) $$ и $$ B(2 ;-7) $$

Сначала найдем угловой коэффициент $$ k $$ прямой, используя формулу:

$$
k = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}
$$

где $$ (x_1, y_1) = (-4, 5) $$ и $$ (x_2, y_2) = (2, -7) $$.

Подставим значения:

$$
k = \frac{-7 - 5}{2 - (-4)} = \frac{-12}{6} = -2
$$

Теперь используем уравнение прямой в точке $$ A $$:

$$
y - y_1 = k(x - x_1)
$$

Подставим $$ k $$ и координаты точки $$ A $$:

$$
y - 5 = -2(x + 4)
$$

Упростим уравнение:

$$
y - 5 = -2x - 8 \
y = -2x - 3
$$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки $$ A $$ и $$ B $$:

$$
y = -2x - 3
$$

### 2. Уравнение прямой, проходящей через точку $$ K(5 ;-9) $$ и параллельной прямой $$ 9x - y = -1 $$

Сначала найдем угловой коэффициент прямой $$ 9x - y = -1 $$. Приведем уравнение к форме $$ y = kx + b $$:

$$
y = 9x + 1
$$

Таким образом, угловой коэффициент $$ k = 9 $$.

Теперь используем уравнение прямой через точку $$ K $$:

$$
y - y_1 = k(x - x_1)
$$

Подставим $$ k $$ и координаты точки $$ K $$:

$$
y + 9 = 9(x - 5)
$$

Упростим уравнение:

$$
y + 9 = 9x - 45 \
y = 9x - 54
$$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку $$ K $$ и параллельной данной прямой:

$$
y = 9x - 54
$$

### 3. Уравнение прямой, проходящей через точку $$ F(4\sqrt{3} ;-12) $$ и образующей угол $$ 150^{\circ} $$ с положительным направлением оси абсцисс

Угловой коэффициент $$ k $$ можно найти через тангенс угла:

$$
k = \tan(150^{\circ}) = \tan(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\tan(30^{\circ}) = -\frac{1}{\sqrt{3}}
$$

Теперь используем уравнение прямой через точку $$ F $$:

$$
y - y_1 = k(x - x_1)
$$

Подставим $$ k $$ и координаты точки $$ F $$:

$$
y + 12 = -\frac{1}{\sqrt{3}}(x - 4\sqrt{3})
$$

Упростим уравнение:

$$
y + 12 = -\frac{1}{\sqrt{3}}x + 4 \
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 8
$$

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку $$ F $$ и образующей угол $$ 150^{\circ} $$:

$$
y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 8
$$

### 4. Уравнение окружности, описанной около треугольника, ограниченного осями координат и прямой $$ 3x - 4y = 24 $$

Сначала найдем точки пересечения прямой с осями координат.

- Пересечение с осью $$ x $$ (где $$ y = 0 $$):
$$
3x = 24 \implies x = 8 \implies (8, 0)
$$

- Пересечение с осью $$ y $$ (где $$ x = 0 $$):
$$
-4y = 24 \implies y = -6 \implies (0, -6)
$$

Теперь у нас есть три точки: $$ (0, 0) $$, $$ (8, 0) $$ и $$ (0, -6) $$.

Центр окружности будет находиться в середине отрезка, соединяющего точки $$ (8, 0) $$ и $$ (0, -6) $$. Найдем координаты центра $$ C $$:

$$
C\left(\frac{8 + 0}{2}, \frac{0 + (-6)}{2}\right) = C(4, -3)
$$

Теперь найдем радиус $$ r $$, который равен расстоянию от центра до одной из вершин, например, до точки $$ (8, 0) $$:

$$
r = \sqrt{(8 - 4)^2 + (0 - (-3))^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5
$$

Уравнение окружности имеет вид:

$$
(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2
$$

где $$ (h, k) $$ - координаты центра, а $$ r $$ - радиус. Подставим значения:

$$
(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 5^2
$$

Таким образом, уравнение окружности:

$$
(x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25
$$
1. Уравнение прямой, проходящей через точки $$ A(-4 ; 5) $$ и $$ B(2 ;-7) $$: $$ y = -2x - 3 $$ 2. Уравнение прямой, проходящей через точку $$ K(5 ;-9) $$ и параллельной прямой $$ 9x - y = -1 $$: $$ y = 9x - 54 $$ 3. Уравнение прямой, проходящей через точку $$ F(4\sqrt{3} ;-12) $$ и образующей угол $$ 150^{\circ} $$ с положительным направлением оси абсцисс: $$ y = -\frac{1}{\sqrt{3}}x - 8 $$ 4. Уравнение окружности, описанной около треугольника, ограниченного осями координат и прямой $$ 3x - 4y = 24 $$: $$ (x - 4)^2 + (y + 3)^2 = 25 $$

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Geometry Questions