20 Calculer l'inverse de \( \frac{4}{3} \), puis résoudre dans \( \mathbb{R}^{*} \) les équations et inéquations. \( \begin{array}{lll}\text { a. } \frac{1}{x}=\frac{3}{4} & \text { b. } \frac{1}{x}<\frac{3}{4} & \text { c. } \frac{1}{x}>\frac{3}{4}\end{array} \)

**Étape 1. Calcul de l'inverse de \(\frac{4}{3}\)** L'inverse de \(\frac{4}{3}\) est : \[ \left(\frac{4}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{4}. \] --- **Étape 2. Résolution des équations et inéquations dans \(\mathbb{R}^*\)** **a. Équation : \(\frac{1}{x} = \frac{3}{4}\)** Pour résoudre : 1. Écrire l'équation : \[ \frac{1}{x} = \frac{3}{4}. \] 2. Multiplier des deux côtés par \(x\) (valable puisque \(x \neq 0\)) : \[ 1 = \frac{3}{4}x. \] 3. Multiplier des deux côtés par \(\frac{4}{3}\) pour isoler \(x\) : \[ x = \frac{4}{3}. \] **Solution :** \(\displaystyle x = \frac{4}{3}\). --- **b. Inéquation : \(\frac{1}{x} < \frac{3}{4}\)** Pour résoudre cette inéquation, il convient de distinguer deux cas selon le signe de \(x\). *Cas 1 : \(x > 0\)* - Pour \(x > 0\), multiplier par \(x\) (sans changer le sens de l'inéquation) donne : \[ 1 < \frac{3}{4}x. \] - Multiplier par \(4\) : \[ 4 < 3x. \] - Diviser par \(3\) : \[ x > \frac{4}{3}. \] *Cas 2 : \(x < 0\)* - Si \(x < 0\), alors \(\frac{1}{x}\) est négatif, tandis que \(\frac{3}{4}\) est positif. L'inégalité \[ \frac{1}{x} < \frac{3}{4} \] est donc immédiatement vérifiée pour tout \(x < 0\). **Solution :** \[ x < 0 \quad \text{ou} \quad x > \frac{4}{3}. \] --- **c. Inéquation : \(\frac{1}{x} > \frac{3}{4}\)** De nouveau, examinons deux cas. *Cas 1 : \(x > 0\)* - Pour \(x > 0\), multiplier l'inéquation par \(x\) (sans changer le sens) : \[ 1 > \frac{3}{4}x. \] - Multiplier par \(4\) : \[ 4 > 3x. \] - Diviser par \(3\) : \[ x < \frac{4}{3}. \] - Comme \(x > 0\), on obtient : \[ 0 < x < \frac{4}{3}. \] *Cas 2 : \(x < 0\)* - Pour \(x < 0\), \(\frac{1}{x}\) est négatif. Comme \(\frac{3}{4}\) est positif, l'inégalité \[ \frac{1}{x} > \frac{3}{4} \] est fausse pour tout \(x < 0\). **Solution :** \[ 0 < x < \frac{4}{3}. \]