Directions: Determine if the linear binomial is a factor of the given polynomial. If it is, then find the remaining factors of the polynomial. 3. $$ x^{3}-3 x+2 ; x+2 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**Завдання:**
Визначте, чи є лінійний біном $$ x + 2 $$ множником многочлена $$ P(x) = x^{3} - 3x + 2 $$. Якщо так, знайдіть решту множників многочлена.

**Розв’язок:**

1. **Перевірка, чи $$ x + 2 $$ є множником многочлена $$ P(x) $$:**

Використаємо теорему Безу, яка стверджує, що $$ x + a $$ є множником многочлена $$ P(x) $$, якщо $$ P(-a) = 0 $$.

Обчислимо $$ P(-2) $$:
   $$
   P(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0
   $$
   Оскільки $$ P(-2) = 0 $$, то $$ x + 2 $$ є множником многочлена $$ P(x) $$.

2. **Знаходження решти множників:**

Виконаємо ділення многочлена $$ P(x) $$ на $$ x + 2 $$ за допомогою синтетичного ділення.

**Синтетичне ділення:**
   
   - **Коєфіцієнти многочлена $$ P(x) $$:** $$ 1 $$ (при $$ x^3 $$), $$ 0 $$ (при $$ x^2 $$), $$ -3 $$ (при $$ x $$), $$ 2 $$ (вільний член).
   - **Значення для ділення:** $$ x = -2 $$.

Таблиця синтетичного ділення:

$$
   \begin{array}{c|cccc}
   -2 & 1 & 0 & -3 & 2 \
      &   & -2 & 4 & -2 \
      \hline
        & 1 & -2 & 1 & 0 \
   \end{array}
   $$
   
   Таким чином, результат ділення: $$ x^{2} - 2x + 1 $$.

3. **Факторизація залишку:**

Розкладемо отриманий многочлен $$ x^{2} - 2x + 1 $$:
   $$
   x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^2
   $$

4. **Повна факторизація многочлена $$ P(x) $$:**
   $$
   P(x) = (x + 2)(x - 1)^2
   $$

**Відповідь:**

Лінійний біном $$ x + 2 $$ є множником многочлена $$ x^{3} - 3x + 2 $$. Решта множників многочлена:
$$
(x + 2)(x - 1)^2
$$
$$ x + 2 $$ is a factor of $$ x^{3} - 3x + 2 $$. The remaining factors are $$ (x - 1)^2 $$.

Directions: Determine if the linear binomial is a factor of the given polynomial. If it is, then find the remaining factors of the polynomial. 3. \( x^{3}-3 x+2 ; x+2 \)

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Beyond the Answer

Related Questions

Latest Algebra Questions