Directions: Determine if the linear binomial is a factor of the given polynomial. If it is, then find the remaining factors of the polynomial. 3. \( x^{3}-3 x+2 ; x+2 \)

**Завдання:** Визначте, чи є лінійний біном \( x + 2 \) множником многочлена \( P(x) = x^{3} - 3x + 2 \). Якщо так, знайдіть решту множників многочлена. **Розв’язок:** 1. **Перевірка, чи \( x + 2 \) є множником многочлена \( P(x) \):** Використаємо теорему Безу, яка стверджує, що \( x + a \) є множником многочлена \( P(x) \), якщо \( P(-a) = 0 \). Обчислимо \( P(-2) \): \[ P(-2) = (-2)^3 - 3(-2) + 2 = -8 + 6 + 2 = 0 \] Оскільки \( P(-2) = 0 \), то \( x + 2 \) є множником многочлена \( P(x) \). 2. **Знаходження решти множників:** Виконаємо ділення многочлена \( P(x) \) на \( x + 2 \) за допомогою синтетичного ділення. **Синтетичне ділення:** - **Коєфіцієнти многочлена \( P(x) \):** \( 1 \) (при \( x^3 \)), \( 0 \) (при \( x^2 \)), \( -3 \) (при \( x \)), \( 2 \) (вільний член). - **Значення для ділення:** \( x = -2 \). Таблиця синтетичного ділення: \[ \begin{array}{c|cccc} -2 & 1 & 0 & -3 & 2 \\ & & -2 & 4 & -2 \\ \hline & 1 & -2 & 1 & 0 \\ \end{array} \] Таким чином, результат ділення: \( x^{2} - 2x + 1 \). 3. **Факторизація залишку:** Розкладемо отриманий многочлен \( x^{2} - 2x + 1 \): \[ x^{2} - 2x + 1 = (x - 1)^2 \] 4. **Повна факторизація многочлена \( P(x) \):** \[ P(x) = (x + 2)(x - 1)^2 \] **Відповідь:** Лінійний біном \( x + 2 \) є множником многочлена \( x^{3} - 3x + 2 \). Решта множників многочлена: \[ (x + 2)(x - 1)^2 \]