3) Calcula el angulo que forman las rectas \( x+3 y-2=0, y \) la recta \( 2 x-3 y+5=0 \)

Para calcular el ángulo que forman las rectas dadas, primero necesitamos encontrar sus pendientes. La ecuación de la primera recta \( x + 3y - 2 = 0 \) se puede reescribir como \( y = -\frac{1}{3}x + \frac{2}{3} \); así, su pendiente \( m_1 = -\frac{1}{3} \). La segunda recta \( 2x - 3y + 5 = 0 \) se transforma en \( y = \frac{2}{3}x + \frac{5}{3} \), por lo tanto, su pendiente \( m_2 = \frac{2}{3} \). El ángulo \( \theta \) entre las dos rectas se puede calcular con la fórmula: \[ \tan(\theta) = \left|\frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2}\right| \] Sustituyendo los valores: \[ \tan(\theta) = \left|\frac{-\frac{1}{3} - \frac{2}{3}}{1 + \left(-\frac{1}{3}\right)\left(\frac{2}{3}\right)}\right| = \left|\frac{-1}{1 - \frac{2}{9}}\right| = \left|\frac{-1}{\frac{7}{9}}\right| = \frac{9}{7} \] Ahora, aplicamos la función inversa de la tangente para obtener el ángulo: \[ \theta = \tan^{-1}\left(\frac{9}{7}\right) \] Esto nos dará el ángulo entre las dos rectas en radianes o grados, dependiendo de la calculadora que utilices. ¡Listo para deslizarte en el mundo de las pendientes y ángulos!