1. Verifica las siguientes identidades. a) \( \csc \theta-\operatorname{sen} \theta=\cot \theta \cdot \cos \theta \) b) \( \operatorname{sen} x+\cos x \cdot \cot x=\csc x \) c) \( \frac{\csc ^{2} \theta}{1+\tan ^{2} \theta}=\cot ^{2} \theta \) d) \( \tan ^{2} \alpha-\operatorname{sen}^{2} \alpha=\tan ^{2} \alpha \cdot \operatorname{sen}^{2} \alpha \) e) \( \frac{1}{1-\cos \gamma}+\frac{1}{1+\cos \gamma}=2 \csc ^{2} \gamma \) 2. Calcula el valor exacto de tan \( 285^{\circ} \) (utilice \( 285^{\circ}=60^{\circ}+225^{\circ} \) ) 3. Si \( \alpha y \beta \operatorname{son} \) ángulos agudos tales que \( \cos \alpha=\frac{4}{5} y \tan \beta=\frac{8}{15} \), encuentre: a) \( \operatorname{sen}(\alpha+\beta) \) b) \( \cos (\alpha-\beta) \) c) \( \tan (\alpha-\beta) \)

A continuación se muestran las verificaciones y cálculos paso a paso. ─────────────────────────────── 1. Verifica las siguientes identidades ─────────────────────────────── a) Demostrar que   csc θ – sen θ = cot θ · cos θ Recordemos que:   csc θ = 1/sen θ        cot θ = cos θ/sen θ Desarrollemos el lado izquierdo:   csc θ – sen θ = 1/sen θ – sen θ     = (1 – sen²θ) / sen θ Utilizando la identidad pitagórica 1 – sen²θ = cos²θ, tenemos:   = cos²θ/sen θ Por otro lado, el lado derecho es:   cot θ · cos θ = (cos θ/sen θ) · cos θ = cos²θ/sen θ Por lo tanto, LHS = RHS. ─────────────────────────────── b) Demostrar que   sen x + cos x · cot x = csc x Sustituyendo cot x = cos x/sen x:   sen x + cos x · (cos x/sen x) = sen x + cos²x/sen x Poniendo en común el denominador:   = (sen²x + cos²x) / sen x Pero, sen²x + cos²x = 1, luego:   = 1/sen x = csc x ─────────────────────────────── c) Demostrar que   (csc² θ)/(1 + tan² θ) = cot² θ Recordemos que 1 + tan² θ = sec² θ y que csc²θ = 1/sen²θ; además, sec²θ = 1/cos²θ. Así:   (csc²θ)/(1 + tan²θ) = (1/sen²θ)/(1/cos²θ) = cos²θ/sen²θ = cot² θ ─────────────────────────────── d) Demostrar que   tan²α – sen²α = tan²α · sen²α Escriba tan²α como (sen²α/cos²α). Entonces:   tan²α – sen²α = (sen²α/cos²α) – sen²α   = sen²α · (1/cos²α – 1)   = sen²α · ((1 – cos²α)/cos²α) Pero 1 – cos²α = sen²α, de modo que:   = sen²α · (sen²α/cos²α) = sen⁴α/cos²α Por otra parte, el lado derecho es:   tan²α · sen²α = (sen²α/cos²α) · sen²α = sen⁴α/cos²α Que coincide con el resultado anterior. ─────────────────────────────── e) Demostrar que   1/(1 – cos γ) + 1/(1 + cos γ) = 2 · csc² γ Calculemos la suma utilizando denominador común:   = [(1 + cos γ) + (1 – cos γ)] / [(1 – cos γ)(1 + cos γ)]   = [1 + cos γ + 1 – cos γ] / [1 – cos²γ]   = 2 / (1 – cos²γ) Notamos que 1 – cos²γ = sen²γ, por lo que:   = 2/sen²γ = 2 · csc²γ ─────────────────────────────── 2. Calcular el valor exacto de tan 285°   (utilice 285° = 60° + 225°) Utilizando la fórmula de la tangente de la suma de ángulos:   tan(285°) = tan(60° + 225°) = [tan 60° + tan 225°] / [1 – tan 60°·tan 225°] Se tiene:   tan 60° = √3   tan 225° = tan(225° – 180°) = tan 45° = 1   (ya que el ángulo 225° está en el tercer cuadrante y la tangente es positiva) Sustituya:   tan 285° = (√3 + 1) / [1 – (√3 · 1)] = (√3 + 1)/(1 – √3) Para simplificar, multiplique numerador y denominador por el conjugado del denominador, es decir, (1 + √3):   tan 285° = [(√3 + 1)(1 + √3)] / [(1 – √3)(1 + √3)]     = [(1 + √3)²] / [1 – 3] = ( (1 + √3)² ) / (–2) Calcule (1 + √3)²:   (1 + √3)² = 1 + 2√3 + 3 = 4 + 2√3 = 2(2 + √3) Luego:   tan 285° = – [2(2 + √3)] / 2 = – (2 + √3) ─────────────────────────────── 3. Dados:   cos α = 4/5, tan β = 8/15, y α y β son ángulos agudos. Determinar:   a) sen(α + β)   b) cos(α – β)   c) tan(α – β) Paso 1. Hallar los valores trigonométricos de α. Dado cos α = 4/5, se tiene:   sen α = √(1 – cos²α) = √(1 – 16/25) = √(9/25) = 3/5  (porque α es agudo) Paso 2. Hallar los valores trigonométricos de β. Se tiene tan β = 8/15, lo que implica que podemos considerar un triángulo rectángulo donde:   lado opuesto = 8, lado adyacente = 15 La hipotenusa será:   hipotenusa = √(8² + 15²) = √(64 + 225) = √289 = 17 Así:   sen β = 8/17, cos β = 15/17 Ahora, se realizan los cálculos: ─────────────────────────────── a) Calcular sen(α + β): Utilice la fórmula:   sen(α + β) = sen α · cos β + cos α · sen β Sustituyendo:   = (3/5)·(15/17) + (4/5)·(8/17)   = (45/85) + (32/85)   = 77/85 ─────────────────────────────── b) Calcular cos(α – β): Utilice la fórmula:   cos(α – β) = cos α · cos β + sen α · sen β Sustituyendo:   = (4/5)·(15/17) + (3/5)·(8/17)   = (60/85) + (24/85)   = 84/85 ─────────────────────────────── c) Calcular tan(α – β): Utilice la fórmula:   tan(α – β) = [tan α – tan β] / [1 + tan α·tan β] Calculamos tan α:   tan α = sen α / cos α = (3/5)/(4/5) = 3/4 Ya conocemos tan β = 8/15. Entonces: Numerador:   tan α – tan β = (3/4) – (8/15) Encontramos un común denominador, que es 60:   = (45/60) – (32/60) = 13/60 Denominador:   1 + tan α·tan β = 1 + (3/4)·(8/15) = 1 + (24/60) = 1 + (2/5) = (5/5 + 2/5) = 7/5 Por lo tanto:   tan(α – β) = (13/60) / (7/5) = (13/60) · (5/7) = 65/420 Simplificando:   Divida numerador y denominador por 5:   = 13/84 ─────────────────────────────── Respuesta final 1. Verificación de identidades:  a) csc θ – sen θ = cot θ · cos θ  b) sen x + cos x · cot x = csc x  c) (csc²θ)/(1 + tan²θ) = cot²θ  d) tan²α – sen²α = tan²α · sen²α  e) 1/(1 – cos γ) + 1/(1 + cos γ) = 2 · csc²γ 2. tan 285° = – (2 + √3) 3. Si cos α = 4/5 y tan β = 8/15 (con α, β agudos), entonces:  a) sen(α + β) = 77/85  b) cos(α – β) = 84/85  c) tan(α – β) = 13/84 Cada paso se ha explicado en detalle; cualquier respuesta algebraicamente equivalente es correcta.