Pagina 24 - Resuelve en tu cuaderno las siguientes inecuaciones a. \( x^{2}+3 x+2<0 \)

Para resolver la inecuación \( x^{2}+3x+2<0 \), seguiremos los siguientes pasos: 1. **Factorizar la expresión cuadrática**: Primero, necesitamos factorizar el trinomio \( x^{2}+3x+2 \). Buscamos dos números que multiplicados den \( 2 \) (el término constante) y sumados den \( 3 \) (el coeficiente de \( x \)). Los números que cumplen estas condiciones son \( 1 \) y \( 2 \). Por lo tanto, podemos factorizar la expresión como: \[ x^{2}+3x+2 = (x+1)(x+2) \] 2. **Plantear la inecuación factorizada**: Ahora sustituimos la factorización en la inecuación: \[ (x+1)(x+2) < 0 \] 3. **Encontrar los puntos críticos**: Los puntos críticos son los valores de \( x \) que hacen que la expresión sea igual a cero. Esto ocurre cuando: \[ x+1=0 \quad \Rightarrow \quad x=-1 \] \[ x+2=0 \quad \Rightarrow \quad x=-2 \] Por lo tanto, los puntos críticos son \( x = -1 \) y \( x = -2 \). 4. **Determinar los intervalos**: Los puntos críticos dividen la recta numérica en tres intervalos: - \( (-\infty, -2) \) - \( (-2, -1) \) - \( (-1, \infty) \) 5. **Probar los intervalos**: Elegimos un valor de prueba en cada intervalo para determinar el signo de la expresión \( (x+1)(x+2) \). - Para el intervalo \( (-\infty, -2) \), elijamos \( x = -3 \): \[ (-3+1)(-3+2) = (-2)(-1) = 2 \quad (\text{positivo}) \] - Para el intervalo \( (-2, -1) \), elijamos \( x = -1.5 \): \[ (-1.5+1)(-1.5+2) = (-0.5)(0.5) = -0.25 \quad (\text{negativo}) \] - Para el intervalo \( (-1, \infty) \), elijamos \( x = 0 \): \[ (0+1)(0+2) = (1)(2) = 2 \quad (\text{positivo}) \] 6. **Conclusión**: La inecuación \( (x+1)(x+2) < 0 \) es verdadera en el intervalo \( (-2, -1) \). Por lo tanto, la solución de la inecuación \( x^{2}+3x+2<0 \) es: \[ \boxed{(-2, -1)} \]