(11-14) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones poli- nomiales y declare el grado resultante. 11. \( x^{3}-7 x^{2}+5=x\left(x^{2}-1\right)+3 x^{2}-2 \) 12. \( (y-2)(y+5)=(2 y-1)(y+1)+7 \) 13. \( y^{2}+7=(y-1)^{2}+3 y \) 14. \( (u-1)^{2}=(u+1)(u+3)+5 \)

**11.** Dada la ecuación \[ x^{3}-7x^{2}+5=x\left(x^{2}-1\right)+3x^{2}-2, \] se procede de la siguiente manera. 1. Expande el lado derecho: \[ x\left(x^{2}-1\right)=x^3-x, \] por lo que el lado derecho se convierte en: \[ x^3-x+3x^{2}-2. \] 2. Pasa todos los términos al lado izquierdo: \[ x^3-7x^{2}+5-(x^3-x+3x^{2}-2)=0. \] 3. Simplifica cada término: \[ x^3-x^3-7x^{2}-3x^{2}+x+5+2=0, \] \[ -10x^{2}+x+7=0. \] 4. Multiplicando ambos lados de la ecuación por \(-1\) para obtener una forma estándar: \[ 10x^{2}-x-7=0. \] La ecuación reducida es un polinomio de grado \(2\). --- **12.** Dada la ecuación \[ (y-2)(y+5)=(2y-1)(y+1)+7, \] se sigue el siguiente procedimiento. 1. Expande el lado izquierdo: \[ (y-2)(y+5)=y^2+5y-2y-10=y^2+3y-10. \] 2. Expande el lado derecho: \[ (2y-1)(y+1)=2y^2+2y-y-1=2y^2+y-1. \] Luego, sumando 7: \[ 2y^2+y-1+7=2y^2+y+6. \] 3. Igualando ambos lados: \[ y^2+3y-10=2y^2+y+6. \] 4. Llevando todo al lado izquierdo: \[ y^2+3y-10-2y^2-y-6=0, \] \[ -y^2+2y-16=0. \] 5. Multiplica por \(-1\) para obtener la forma estándar: \[ y^2-2y+16=0. \] La ecuación reducida es un polinomio de grado \(2\). --- **13.** Dada la ecuación \[ y^{2}+7=(y-1)^{2}+3y, \] se resuelve de la siguiente forma. 1. Expande \((y-1)^{2}\): \[ (y-1)^2=y^{2}-2y+1. \] Así, el lado derecho queda: \[ y^{2}-2y+1+3y=y^{2}+y+1. \] 2. Sustituye en la ecuación: \[ y^{2}+7=y^{2}+y+1. \] 3. Resta \(y^2\) de ambos lados: \[ 7=y+1. \] 4. Despeja \(y\): \[ y=7-1, \] \[ y=6. \] Expresado como ecuación polinomial: \[ y-6=0. \] La ecuación reducida es un polinomio de grado \(1\). --- **14.** Dada la ecuación \[ (u-1)^{2}=(u+1)(u+3)+5, \] se procede de la siguiente manera. 1. Expande el lado izquierdo: \[ (u-1)^2=u^{2}-2u+1. \] 2. Expande el producto en el lado derecho: \[ (u+1)(u+3)=u^{2}+3u+u+3=u^{2}+4u+3. \] Sumando 5: \[ u^{2}+4u+3+5=u^{2}+4u+8. \] 3. Iguala los dos lados: \[ u^{2}-2u+1=u^{2}+4u+8. \] 4. Resta \(u^{2}\) de ambos lados: \[ -2u+1=4u+8. \] 5. Lleva \(4u\) al lado izquierdo y \(1\) al derecho: \[ -2u-4u=8-1, \] \[ -6u=7. \] 6. Despeja \(u\): \[ u=-\frac{7}{6}. \] Expresado como ecuación polinomial: \[ 6u+7=0. \] La ecuación reducida es un polinomio de grado \(1\).