(11-14) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones poli- nomiales y declare el grado resultante. 11. $$ x^{3}-7 x^{2}+5=x\left(x^{2}-1\right)+3 x^{2}-2 $$ 12. $$ (y-2)(y+5)=(2 y-1)(y+1)+7 $$ 13. $$ y^{2}+7=(y-1)^{2}+3 y $$ 14. $$ (u-1)^{2}=(u+1)(u+3)+5 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

**11.**  
Dada la ecuación  
$$
x^{3}-7x^{2}+5=x\left(x^{2}-1\right)+3x^{2}-2,
$$  
se procede de la siguiente manera.

1. Expande el lado derecho:
   $$
   x\left(x^{2}-1\right)=x^3-x,
   $$  
   por lo que el lado derecho se convierte en:
   $$
   x^3-x+3x^{2}-2.
   $$

2. Pasa todos los términos al lado izquierdo:
   $$
   x^3-7x^{2}+5-(x^3-x+3x^{2}-2)=0.
   $$

3. Simplifica cada término:
   $$
   x^3-x^3-7x^{2}-3x^{2}+x+5+2=0,
   $$
   $$
   -10x^{2}+x+7=0.
   $$

4. Multiplicando ambos lados de la ecuación por $$-1$$ para obtener una forma estándar:
   $$
   10x^{2}-x-7=0.
   $$

La ecuación reducida es un polinomio de grado $$2$$.

---

**12.**  
Dada la ecuación  
$$
(y-2)(y+5)=(2y-1)(y+1)+7,
$$  
se sigue el siguiente procedimiento.

1. Expande el lado izquierdo:
   $$
   (y-2)(y+5)=y^2+5y-2y-10=y^2+3y-10.
   $$

2. Expande el lado derecho:
   $$
   (2y-1)(y+1)=2y^2+2y-y-1=2y^2+y-1.
   $$
   Luego, sumando 7:
   $$
   2y^2+y-1+7=2y^2+y+6.
   $$

3. Igualando ambos lados:
   $$
   y^2+3y-10=2y^2+y+6.
   $$

4. Llevando todo al lado izquierdo:
   $$
   y^2+3y-10-2y^2-y-6=0,
   $$
   $$
   -y^2+2y-16=0.
   $$

5. Multiplica por $$-1$$ para obtener la forma estándar:
   $$
   y^2-2y+16=0.
   $$

La ecuación reducida es un polinomio de grado $$2$$.

---

**13.**  
Dada la ecuación  
$$
y^{2}+7=(y-1)^{2}+3y,
$$  
se resuelve de la siguiente forma.

1. Expande $$(y-1)^{2}$$:
   $$
   (y-1)^2=y^{2}-2y+1.
   $$
   Así, el lado derecho queda:
   $$
   y^{2}-2y+1+3y=y^{2}+y+1.
   $$

2. Sustituye en la ecuación:
   $$
   y^{2}+7=y^{2}+y+1.
   $$

3. Resta $$y^2$$ de ambos lados:
   $$
   7=y+1.
   $$

4. Despeja $$y$$:
   $$
   y=7-1,
   $$
   $$
   y=6.
   $$

Expresado como ecuación polinomial:
$$
y-6=0.
$$

La ecuación reducida es un polinomio de grado $$1$$.

---

**14.**  
Dada la ecuación  
$$
(u-1)^{2}=(u+1)(u+3)+5,
$$  
se procede de la siguiente manera.

1. Expande el lado izquierdo:
   $$
   (u-1)^2=u^{2}-2u+1.
   $$

2. Expande el producto en el lado derecho:
   $$
   (u+1)(u+3)=u^{2}+3u+u+3=u^{2}+4u+3.
   $$
   Sumando 5:
   $$
   u^{2}+4u+3+5=u^{2}+4u+8.
   $$

3. Iguala los dos lados:
   $$
   u^{2}-2u+1=u^{2}+4u+8.
   $$

4. Resta $$u^{2}$$ de ambos lados:
   $$
   -2u+1=4u+8.
   $$

5. Lleva $$4u$$ al lado izquierdo y $$1$$ al derecho:
   $$
   -2u-4u=8-1,
   $$
   $$
   -6u=7.
   $$

6. Despeja $$u$$:
   $$
   u=-\frac{7}{6}.
   $$

Expresado como ecuación polinomial:
$$
6u+7=0.
$$

La ecuación reducida es un polinomio de grado $$1$$.
**11.** La ecuación reducida es $$10x^{2}-x-7=0$$, que es un polinomio de grado 2. **12.** La ecuación reducida es $$y^{2}-2y+16=0$$, que es un polinomio de grado 2. **13.** La ecuación reducida es $$y-6=0$$, que es un polinomio de grado 1. **14.** La ecuación reducida es $$6u+7=0$$, que es un polinomio de grado 1.

(11-14) Reduzca las siguientes ecuaciones a ecuaciones poli- nomiales y declare el grado resultante. 11. \( x^{3}-7 x^{2}+5=x\left(x^{2}-1\right)+3 x^{2}-2 \) 12. \( (y-2)(y+5)=(2 y-1)(y+1)+7 \) 13. \( y^{2}+7=(y-1)^{2}+3 y \) 14. \( (u-1)^{2}=(u+1)(u+3)+5 \)

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