On donne un carré ABCD ; on mène les diagonales et de chaque sommet comme centre, décrit un arc de cercle passant par le point de rencontre O des diagonales et limité aux cô du carré ; on détermine ainsi sur les côtés du carré 8 points E, F, G, H, I, K, L, M. Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier b) Trouver l'aire tot des figures suivantes AEOM, FBGO, HCIO et KDLO.

Pour résoudre ce problème, nous allons procéder en deux étapes : 1. **Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier.** 2. **Trouver l'aire totale des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO.** ### Étape 1 : Démontrer que le polygone EFGHIKLM est un octogone régulier 1. **Définition des points :** - Soit \( A, B, C, D \) les sommets du carré. - Les diagonales \( AC \) et \( BD \) se croisent en \( O \), le centre du carré. 2. **Construction des arcs de cercle :** - À partir de chaque sommet \( A, B, C, D \), nous traçons un arc de cercle de rayon \( OA \), \( OB \), \( OC \), et \( OD \) respectivement, qui passent par le point \( O \) et sont limités aux côtés du carré. 3. **Position des points :** - Les points \( E, F, G, H, I, K, L, M \) sont les intersections de ces arcs avec les côtés du carré. - Par symétrie, chaque arc de cercle est identique et chaque segment \( EF, FG, GH, HI, IK, KL, LM, ME \) est de même longueur. 4. **Angles :** - Les angles au centre \( O \) formés par les segments \( OE, OF, OG, OH, OI, OK, OL, OM \) sont tous égaux, car ils sont tous issus du même point \( O \) et sont espacés uniformément autour de ce point. 5. **Conclusion :** - Par conséquent, le polygone \( EFGHIKLM \) est un octogone régulier, car il a 8 côtés de même longueur et 8 angles égaux. ### Étape 2 : Trouver l'aire totale des figures AEOM, FBGO, HCIO et KDLO 1. **Aire d'un triangle :** - L'aire d'un triangle peut être calculée avec la formule : \[ A = \frac{1}{2} \times \text{base} \times \text{hauteur} \] 2. **Calcul des aires des triangles :** - Les triangles \( AEOM, FBGO, HCIO, KDLO \) sont tous isocèles et ont la même base et la même hauteur, car ils sont symétriques par rapport au centre \( O \). 3. **Base et hauteur :** - La base de chaque triangle est un côté du carré, notons-la \( a \). - La hauteur est la distance de \( O \) à la base, qui est \( \frac{a}{2} \). 4. **Aire d'un triangle :** - L'aire d'un triangle est donc : \[ A = \frac{1}{2} \times a \times \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4} \] 5. **Aire totale :** - Puisqu'il y a 4 triangles identiques, l'aire totale est : \[ A_{\text{total}} = 4 \times \frac{a^2}{4} = a^2 \] ### Conclusion - Nous avons démontré que le polygone \( EFGHIKLM \) est un octogone régulier. - L'aire totale des figures \( AEOM, FBGO, HCIO \) et \( KDLO \) est \( a^2 \), où \( a \) est la longueur d'un côté du carré.