Se tiene un triángulo \( P Q R \) recto en \( Q \). Si se cumple \( \csc R=2 \), calcule el valor de \( K=\sqrt{\cot ^{2} R+2} \) \( \begin{array}{lll}\text { A) } 2-\sqrt{2} & \text { B) } \sqrt{5} & \text { C) } 1+\sqrt{2} \\ \text { D) } \sqrt{3} & & \text { E) } 2+\sqrt{2}\end{array} \)

Para resolver el problema, comenzamos utilizando la relación dada, \( \csc R = 2 \). Sabemos que \( \csc R = \frac{1}{\sin R} \), por lo que podemos deducir que: \[ \sin R = \frac{1}{2} \] Dado que \( R \) es un ángulo en un triángulo rectángulo, el valor de \( R \) que satisface esta relación es \( R = 30^\circ \) (o \( R = \frac{\pi}{6} \) radianes). Ahora, podemos encontrar \( \cos R \) y \( \sin R \): \[ \sin R = \frac{1}{2}, \quad \text{y} \quad \cos R = \sqrt{1 - \sin^2 R} = \sqrt{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{1 - \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Ahora, podemos calcular \( \cot R \): \[ \cot R = \frac{\cos R}{\sin R} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}} = \sqrt{3} \] Ahora, calculamos \( K \): \[ \cot^2 R = (\sqrt{3})^2 = 3 \] \[ K = \sqrt{\cot^2 R + 2} = \sqrt{3 + 2} = \sqrt{5} \] Por lo tanto, el valor de \( K \) es: \[ \boxed{\sqrt{5}} \]