B2. Сторона AB ромба ABC D равна $$ a $$, один из углов ромба $$ 60^{\circ} $$. Через сторону AB проведен плоскость на расстоянии $$ \frac{a}{2} $$ от точки D . а) Найдите расстояние от точки C до плоскости $$ a $$, б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла DABM , где M - точка плоскости, в) Найдите синус этого угла.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения задачи, давайте разберем каждую часть по порядку.

### Известные условия:
1. Сторона ромба $$ AB = a $$.
2. Один из углов ромба $$ \angle ABC = 60^{\circ} $$.
3. Плоскость проведена через сторону $$ AB $$ на расстоянии $$ \frac{a}{2} $$ от точки $$ D $$.

### а) Найдите расстояние от точки C до плоскости.

1. **Определим координаты точек ромба.**
   - Пусть точка $$ A $$ находится в начале координат: $$ A(0, 0) $$.
   - Точка $$ B $$ будет находиться на оси $$ x $$: $$ B(a, 0) $$.
   - Угол $$ \angle ABC = 60^{\circ} $$ означает, что точка $$ C $$ будет находиться на расстоянии $$ a $$ от точки $$ B $$ под углом $$ 60^{\circ} $$. 
   - Координаты точки $$ C $$ можно найти следующим образом:
     $$
     C\left(a + a \cos(60^{\circ}), a \sin(60^{\circ})\right) = C\left(a + \frac{a}{2}, a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}\right) = C\left(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right)
     $$
   - Точка $$ D $$ будет находиться на оси $$ y $$ на расстоянии $$ a $$ от точки $$ A $$: $$ D(0, a) $$.

2. **Уравнение плоскости.**
   - Плоскость проходит через точку $$ D(0, a) $$ и параллельна оси $$ x $$ на расстоянии $$ \frac{a}{2} $$ от точки $$ D $$. Уравнение плоскости можно записать как:
     $$
     y = a - \frac{a}{2} = \frac{a}{2}
     $$

3. **Расстояние от точки $$ C $$ до плоскости.**
   - Координаты точки $$ C $$ равны $$ \left(\frac{3a}{2}, \frac{a\sqrt{3}}{2}\right) $$.
   - Расстояние от точки $$ C $$ до плоскости $$ y = \frac{a}{2} $$ можно найти по формуле:
     $$
     d = |y_C - y_{плоскости}| = \left|\frac{a\sqrt{3}}{2} - \frac{a}{2}\right| = \left|\frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2}\right|
     $$

### б) Покажите на рисунке линейный угол двугранного угла $$ DABM $$, где $$ M $$ - точка плоскости.

- Для этого нужно нарисовать ромб $$ ABCD $$ и плоскость, проходящую через сторону $$ AB $$ на расстоянии $$ \frac{a}{2} $$ от точки $$ D $$. Точка $$ M $$ будет находиться на плоскости, и угол $$ DABM $$ будет образован линией $$ DA $$ и линией $$ DM $$.

### в) Найдите синус этого угла.

1. **Векторы.**
   - Вектор $$ \vec{DA} = A - D = (0, 0) - (0, a) = (0, -a) $$.
   - Вектор $$ \vec{DM} $$ можно взять как $$ M(0, \frac{a}{2}) $$, тогда:
     $$
     \vec{DM} = M - D = (0, \frac{a}{2}) - (0, a) = (0, -\frac{a}{2})
     $$

2. **Синус угла.**
   - Угол между векторами $$ \vec{DA} $$ и $$ \vec{DM} $$ равен $$ 0^{\circ} $$, так как они коллинеарны. Следовательно, синус угла равен:
     $$
     \sin(0^{\circ}) = 0
     $$

### Ответы:
а) Расстояние от точки $$ C $$ до плоскости равно $$ \frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2} $$.

б) Угол $$ DABM $$ можно изобразить на рисунке.

в) Синус угла $$ DABM $$ равен $$ 0 $$.
а) Расстояние от точки $$ C $$ до плоскости равно $$ \frac{a(\sqrt{3} - 1)}{2} $$. б) Угол $$ DABM $$ равен $$ 0^{\circ} $$, так как векторы $$ \vec{DA} $$ и $$ \vec{DM} $$ коллинеарны. в) Синус угла $$ DABM $$ равен $$ 0 $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Mind Expander

Related Questions

Latest Geometry Questions