$$ x \rightarrow 7 \frac { \sqrt { x + 2 } - 3 } { x - 7 } = $$

Question

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令  
$$
L=\lim_{x\to7}\frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}
$$

**步骤 1：检查代入情况**

当 $$ x=7 $$ 时，计算分子和分母：
- 分子：$$ \sqrt{7+2}-3=\sqrt{9}-3=3-3=0 $$
- 分母：$$ 7-7=0 $$

所以直接代入会得到不定式 $$ \frac{0}{0} $$。

**步骤 2：使用求导法（洛必达法则）**

由于出现 $$ \frac{0}{0} $$ 的不定式，使用洛必达法则，即分别对分子和分母求导，
求导后得：
- 分子的导数：设 $$ f(x) = \sqrt{x+2} $$，则  
  $$
  f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+2}}
  $$
- 分母的导数：$$ (x-7)'=1 $$

于是，
$$
L=\lim_{x\to7}\frac{\frac{1}{2\sqrt{x+2}}}{1}=\frac{1}{2\sqrt{7+2}}
$$

**步骤 3：化简**

计算 $$ \sqrt{7+2}=\sqrt{9}=3 $$，因此，
$$
L=\frac{1}{2\cdot3}=\frac{1}{6}
$$

**结论**

$$
\lim_{x\to7} \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7}=\frac{1}{6}
$$
当 $$ x $$ 接近 7 时，表达式 $$ \frac{\sqrt{x+2}-3}{x-7} $$ 的极限是 $$ \frac{1}{6} $$。

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