19 On se propose de chercher les fonctions \( f \) de \( \mathbb{R} \) vers \( \mathbb{R} \) telles que : pour tout nombre réel \( x \), (E) \( f^{\prime \prime}(x)-4 f^{\prime}(x)+3 f(x)=6 x^{2}+5 x \). 1. On désigne par \( g \) un polynôme défini par : \( g(x)=a x^{2}+b x+c \) où \( a, b, c \) sont des nombres réels. Déterminer \( a, b, c \) pour que, pour tout nombre réel \( \boldsymbol{x}, \boldsymbol{g} \) soit solution de (E). 2. On pose \( : F=f-g \). a) Démontrer que si \( f \) est solution de l'équation (E) alors \( F \) est solution de l'équation : (E') \( F^{\prime \prime}-4 F^{\prime}+3 F=0 \).

On recherche des fonctions f : ℝ → ℝ telles que, pour tout x ∈ ℝ,   (E) f″(x) – 4 f′(x) + 3 f(x) = 6x² + 5x. On cherche d'abord un polynôme g défini par   g(x) = ax² + bx + c    (1) de sorte que g soit solution de (E). ────────────────────────────── 1. Détermination de a, b, c Calculons d'abord les dérivées de g :   g′(x) = 2ax + b   g″(x) = 2a. En substituant g, g′ et g″ dans (E), on obtient :   g″(x) – 4 g′(x) + 3 g(x) = 2a – 4(2ax + b) + 3(ax² + bx + c). Développons :   = 2a – 8ax – 4b + 3ax² + 3bx + 3c   = 3ax² + (3b – 8a)x + (2a – 4b + 3c). Pour que g soit solution de (E) (pour tout x), il faut que l’égalité   3ax² + (3b – 8a)x + (2a – 4b + 3c) = 6x² + 5x soit satisfaite identiquement, c’est-à-dire en égalant les coefficients des puissances correspondantes : • Coefficient de x² :  3a = 6   ⟹ a = 2. • Coefficient de x :  3b – 8a = 5   ⟹ 3b – 8·2 = 5   ⟹ 3b – 16 = 5   ⟹ 3b = 21   ⟹ b = 7. • Terme constant :  2a – 4b + 3c = 0   ⟹ 2·2 – 4·7 + 3c = 0   ⟹ 4 – 28 + 3c = 0   ⟹ 3c = 24   ⟹ c = 8. Ainsi, le polynôme recherché est :   g(x) = 2x² + 7x + 8. ────────────────────────────── 2. Passage à l’équation homogène On pose :   F(x) = f(x) – g(x). a) Montrons que si f est solution de (E), alors F est solution de l’équation homogene   (E′) F″(x) – 4 F′(x) + 3 F(x) = 0. Montrons-le : Sachant que f = F + g, on a :   f′ = F′ + g′   f″ = F″ + g″. Substituons ces expressions dans (E) :   f″ – 4f′ + 3f = [F″ + g″] – 4[F′ + g′] + 3[F + g]. En développant, on obtient :   = (F″ – 4F′ + 3F) + (g″ – 4g′ + 3g). Mais, par construction, le polynôme g est choisi pour être une solution particulière de (E), c’est-à-dire que pour tout x :   g″(x) – 4g′(x) + 3g(x) = 6x² + 5x. Or, (E) impose également que :   f″(x) – 4f′(x) + 3f(x) = 6x² + 5x. Ainsi, nous avons :   (F″ – 4F′ + 3F) + (6x² + 5x) = 6x² + 5x. En simplifiant, on obtient :   F″ – 4F′ + 3F = 0. Ce qui montre que F est en effet solution de l’équation homogène (E′). ────────────────────────────── Conclusion : 1. Le polynôme particulier est g(x) = 2x² + 7x + 8. 2. Si f est une solution de (E) et F = f – g, alors F satisfait l’équation homogène F″ – 4F′ + 3F = 0.