31. Se \( \frac{a}{b} \) é a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,2454545 ..., determine \( a+b \).

Para encontrar a fração geratriz da dízima periódica \( 0,2454545\ldots \), podemos separá-la em duas partes: a parte não periódica (0,24) e a parte periódica (0,0054545...). Primeiro, vamos lidar com a parte periódica. Seja \( x = 0,0054545...\). Multiplicando por 1000, temos: \( 1000x = 5,4545...\). Agora, subtraímos \( x \) de \( 1000x \): \[ 1000x - x = 5,4545... - 0,0054545... \] \[ 999x = 5,449 \] \[ x = \frac{5,449}{999} \] Juntando isso à parte não periódica, temos: \[ 0,2454545... = 0,24 + x = 0,24 + \frac{5,449}{999} \] Convertendo \( 0,24 \) em fração, obtemos \( \frac{24}{100} = \frac{6}{25} \). Agora precisamos somar essas frações: Para somar \( \frac{6}{25} \) e \( \frac{5,449}{999} \), precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo de 25 e 999 é 24975 (sabendo que 25 e 999 não têm fatores em comum). Reescrevendo as frações: \[ \frac{6}{25} = \frac{6 \times 999}{25 \times 999} = \frac{5994}{24975} \] \[ \frac{5,449}{999} = \frac{5,449 \times 25}{999 \times 25} = \frac{136225}{24975} \] Agora somamos as duas frações: \[ \frac{5994 + 136225}{24975} = \frac{142219}{24975} \] A próxima etapa é simplificar \( \frac{142219}{24975} \). Após verificar, percebemos que esses números não têm fatores comuns além de 1, então a fração já está em sua forma irredutível. Finalmente, precisamos calcular \( a + b \), onde \( a = 142219 \) e \( b = 24975 \): \[ a + b = 142219 + 24975 = 167194. \] Portanto, a resposta é: \[ \boxed{167194}. \]