31. Se \( \frac{a}{b} \) é a fração geratriz irredutível da dízima periódica 0,2454545 ..., determine \( a+b \).

Para encontrar a fração geratriz irredutível da dízima periódica \( 0,2454545... \), vamos seguir os seguintes passos: 1. **Identificar a parte inteira e a parte decimal**: A parte inteira é \( 0 \) e a parte decimal é \( 0,2454545... \). 2. **Separar a parte periódica e a parte não periódica**: A parte não periódica é \( 0,24 \) e a parte periódica é \( 0,0054545... \). 3. **Converter a parte não periódica em fração**: \[ 0,24 = \frac{24}{100} = \frac{6}{25} \] 4. **Converter a parte periódica em fração**: Para isso, vamos chamar \( x = 0,0054545... \). Multiplicamos \( x \) por \( 1000 \) (para mover a vírgula três casas para a direita): \[ 1000x = 5,4545... \] Agora, multiplicamos \( x \) por \( 100 \) (para mover a vírgula duas casas para a direita): \[ 100x = 0,545454... \] Agora, subtraímos as duas equações: \[ 1000x - 100x = 5,4545... - 0,545454... \] \[ 900x = 4,909090... \] A parte \( 4,909090... \) pode ser convertida em fração. Vamos chamar \( y = 0,909090... \): \[ 100y = 90,909090... \] \[ 100y - y = 90 \] \[ 99y = 90 \implies y = \frac{90}{99} = \frac{10}{11} \] Portanto, \( 4,909090... = 4 + 0,909090... = 4 + \frac{10}{11} = \frac{44}{11} + \frac{10}{11} = \frac{54}{11} \). Assim, temos: \[ 900x = \frac{54}{11} \implies x = \frac{54}{900 \cdot 11} = \frac{54}{9900} = \frac{3}{550} \] 5. **Somar as frações**: Agora, somamos a parte não periódica e a parte periódica: \[ 0,2454545... = \frac{6}{25} + \frac{3}{550} \] Para somar, precisamos de um denominador comum. O mínimo múltiplo entre \( 25 \) e \( 550 \) é \( 1100 \). Convertendo as frações: \[ \frac{6}{25} = \frac{6 \cdot 44}{25 \cdot 44} = \frac{264}{1100} \] \[ \frac{3}{550} = \frac{3 \cdot 2}{550 \cdot 2} = \frac{6}{1100} \] Agora, somamos: \[ \frac{264}{1100} + \frac{6}{1100} = \frac{270}{1100} \] 6. **Simplificar a fração**: A fração \( \frac{270}{1100} \) pode ser simplificada. O máximo divisor comum (MDC) entre \( 270 \) e \( 1100 \) é \( 10 \): \[ \frac{270 \div 10}{1100 \div 10} = \frac{27}{110} \] 7. **Encontrar \( a + b \)**: Aqui, \( a = 27 \) e \( b = 110 \). Portanto: \[ a + b = 27 + 110 = 137 \] Assim, a resposta final é: \[ \boxed{137} \]