EJERCICIO 2 (G3.15): La cima de una montaña está a 2450 m de altura sobre la base de un campamento, y según un mapa, está a 4580 m horizontalmente desde el campamento en una dirección $$ 32.4^{\circ} $$ al oeste del norte. ¿Cuáles son las componentes del vector desplazamiento desde el campamento hasta la cima de la montaña? ¿Cuál es la magnitud del desplazamiento? Seleccione el eje x como este, el eje y como norte y el eje $$ z $$ hacia arriba.

Question

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1. Se establece el sistema de ejes:  
   - Eje $$ x $$: Este  
   - Eje $$ y $$: Norte  
   - Eje $$ z $$: Hacia arriba

2. La montaña se encuentra a una distancia horizontal de $$ 4580\,\text{m} $$ en una dirección de $$ 32.4^\circ $$ al oeste del norte. Esto significa que el vector horizontal tiene:  
   - Un componente hacia el oeste (eje $$ x $$ negativo)  
   - Un componente hacia el norte (eje $$ y $$ positivo)

3. Se descomponen los componentes horizontales:  
   - Componente en $$ x $$ (oeste):  
     $$
     x = -4580\,\text{m} \times \sin\left(32.4^\circ\right)
     $$
   - Componente en $$ y $$ (norte):  
     $$
     y = 4580\,\text{m} \times \cos\left(32.4^\circ\right)
     $$

4. La componente vertical se obtiene de la diferencia de altura:  
   $$
   z = 2450\,\text{m}
   $$

5. Se calcula numéricamente cada componente (utilizando aproximaciones):

- Calcular $$ \sin\left(32.4^\circ\right) $$ y $$ \cos\left(32.4^\circ\right) $$:  
     $$
     \sin\left(32.4^\circ\right) \approx 0.536,\quad \cos\left(32.4^\circ\right) \approx 0.844
     $$
     
   - Componente $$ x $$:
     $$
     x \approx -4580 \times 0.536 \approx -2455\,\text{m}
     $$
     
   - Componente $$ y $$:
     $$
     y \approx 4580 \times 0.844 \approx 3867\,\text{m}
     $$
     
   - Componente $$ z $$:
     $$
     z = 2450\,\text{m}
     $$

6. La magnitud del vector desplazamiento se obtiene con:
   $$
   r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} = \sqrt{(-2455)^2 + (3867)^2 + (2450)^2}
   $$
   
   Se calculan los cuadrados:
   $$
   (-2455)^2 \approx 6027025,\quad (3867)^2 \approx 14951700,\quad (2450)^2 \approx 6002500
   $$
   
   Sumando:
   $$
   6027025 + 14951700 + 6002500 \approx 26981225
   $$
   
   Entonces:
   $$
   r \approx \sqrt{26981225} \approx 5193\,\text{m}
   $$

Las componentes del vector desplazamiento son:

- $$ x \approx -2455\,\text{m} $$  
- $$ y \approx 3867\,\text{m} $$  
- $$ z = 2450\,\text{m} $$

La magnitud del desplazamiento es aproximadamente $$ 5193\,\text{m} $$.
Las componentes del vector desplazamiento son: - $$ x \approx -2455\,\text{m} $$ (hacia oeste) - $$ y \approx 3867\,\text{m} $$ (hacia el norte) - $$ z = 2450\,\text{m} $$ (hacia arriba) La magnitud del desplazamiento es aproximadamente $$ 5193\,\text{m} $$.

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