Ejercicios 4.1 Búsqueda de antiderivadas En los cjercicios 1-18, halla una antiderivada para cada función. Haz mentalmente cuantas puedas. Confirma tus respuestas diferenciándolas. 1. a) $$ 2 x $$ 2. a) $$ 6 x $$ 3. a) $$ -3 x^{-4} $$ b) $$ x^{2} $$ c) $$ x^{2}-2 x+1 $$ c) $$ x^{7}-6 x+8 $$ 4. a) $$ 2 x^{-1} $$ b) $$ x^{7} $$ b) $$ x^{-4} $$ c) $$ x^{-4}+2 x+3 $$ b) $$ \frac{x^{-3}}{2}+x^{2} $$ 5. a) $$ \frac{1}{x^{2}} $$ b) $$ \frac{5}{x^{2}} $$ b) $$ \frac{1}{2 x^{3}} $$ 7. a) $$ \frac{3}{2} \sqrt{x} $$ 8. a) $$ \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} $$ b) $$ \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$ b) $$ \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} $$ 9. a) $$ \frac{2}{3} x^{-1 / 8} $$ b) $$ \frac{1}{3} x^{-2 / \beta} $$ 10. a) $$ \frac{1}{2} x^{-1 / 2} $$ b) $$ -\frac{1}{2} x^{-3 / 2} $$ 11. a) $$ -\pi \operatorname{sen} \pi x $$ b) $$ 3 \operatorname{sen} x $$ 12. a) $$ \pi \cos \pi x $$ b) $$ \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ \operatorname{sen} \pi x-3 \operatorname{sen} 3 x $$ 25. $$ \int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3} ight) d x $$ c) $$ -\frac{3}{2} x^{-5 / 2} $$ 23. $$ \int\left(2 x^{3}-5 x+7 ight) d x $$ 18. $$ (1+2 \cos x)^{2} $$ 17. $$ (\operatorname{sen} x-\cos x)^{2} $$ b) $$ 4 \sec 3 x an 3 x $$ 16. a) $$ \sec x an x $$ b) $$ -\csc 5 x \cot 5 x $$ 15. a) $$ \csc x \cot x $$ c) $$ -\pi \csc \frac{\pi x}{2} \cot \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ \sec \frac{\pi x}{2} an \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ -x^{-3}+x-1 $$ c) $$ 2-\frac{5}{x^{2}} $$ c) $$ x^{3}-\frac{1}{x^{3}} $$ Evaluación de integrales Evalúa las integrales de los ejercicios 19-58. Confirma tus respucte diferenciándolas. 19. $$ \int(x+1) d x $$ 20. $$ \int(5-6 x) d x $$ 21. $$ \int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2} ight) d t $$ 22. $$ \int\left(\frac{t^{2}}{2}+4 t^{3} ight) d t $$ c) $$ -\frac{1}{3} x^{-4 / 3} $$ c) $$ \cos \frac{\pi x}{2}+\pi \cos x $$ 27. $$ \int x^{-1 / 3} d x $$ 13. a) $$ \sec ^{2} x $$ b) $$ \frac{2}{3} \sec ^{2} \frac{x}{3} $$ 14. a) $$ \csc ^{2} x $$ b) $$ -\frac{3}{2} \csc ^{2} \frac{3 x}{2} $$ c) $$ -\sec ^{2} \frac{3 x}{2} $$ c) $$ 1-8 \csc ^{2} 2 x $$ 29. $$ \int(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x $$ 31. $$ \int\left(8 y-\frac{2}{y^{1 / 4}} ight) d y $$ 24. $$ \int\left(1-x^{2}-3 x^{5} ight) d x $$ 26. $$ \int\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{x^{3}}+2 x ight) d t $$ 28. $$ \int x^{-5 / 4} d x $$ 30. $$ \int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}} ight) d x $$ 32. $$ \int\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{5 / 4}} ight) d y $$

Question

Ejercicios 4.1 Búsqueda de antiderivadas En los cjercicios 1-18, halla una antiderivada para cada función. Haz mentalmente cuantas puedas. Confirma tus respuestas diferenciándolas. 1. a) $$ 2 x $$ 2. a) $$ 6 x $$ 3. a) $$ -3 x^{-4} $$ b) $$ x^{2} $$ c) $$ x^{2}-2 x+1 $$ c) $$ x^{7}-6 x+8 $$ 4. a) $$ 2 x^{-1} $$ b) $$ x^{7} $$ b) $$ x^{-4} $$ c) $$ x^{-4}+2 x+3 $$ b) $$ \frac{x^{-3}}{2}+x^{2} $$ 5. a) $$ \frac{1}{x^{2}} $$ b) $$ \frac{5}{x^{2}} $$ b) $$ \frac{1}{2 x^{3}} $$ 7. a) $$ \frac{3}{2} \sqrt{x} $$ 8. a) $$ \frac{4}{3} \sqrt[3]{x} $$ b) $$ \frac{1}{2 \sqrt{x}} $$ b) $$ \frac{1}{3 \sqrt[3]{x}} $$ 9. a) $$ \frac{2}{3} x^{-1 / 8} $$ b) $$ \frac{1}{3} x^{-2 / \beta} $$ 10. a) $$ \frac{1}{2} x^{-1 / 2} $$ b) $$ -\frac{1}{2} x^{-3 / 2} $$ 11. a) $$ -\pi \operatorname{sen} \pi x $$ b) $$ 3 \operatorname{sen} x $$ 12. a) $$ \pi \cos \pi x $$ b) $$ \frac{\pi}{2} \cos \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ \operatorname{sen} \pi x-3 \operatorname{sen} 3 x $$ 25. $$ \int\left(\frac{1}{x^{2}}-x^{2}-\frac{1}{3}ight) d x $$ c) $$ -\frac{3}{2} x^{-5 / 2} $$ 23. $$ \int\left(2 x^{3}-5 x+7ight) d x $$ 18. $$ (1+2 \cos x)^{2} $$ 17. $$ (\operatorname{sen} x-\cos x)^{2} $$ b) $$ 4 \sec 3 x 	an 3 x $$ 16. a) $$ \sec x 	an x $$ b) $$ -\csc 5 x \cot 5 x $$ 15. a) $$ \csc x \cot x $$ c) $$ -\pi \csc \frac{\pi x}{2} \cot \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ \sec \frac{\pi x}{2} 	an \frac{\pi x}{2} $$ c) $$ -x^{-3}+x-1 $$ c) $$ 2-\frac{5}{x^{2}} $$ c) $$ x^{3}-\frac{1}{x^{3}} $$ Evaluación de integrales Evalúa las integrales de los ejercicios 19-58. Confirma tus respucte diferenciándolas. 19. $$ \int(x+1) d x $$ 20. $$ \int(5-6 x) d x $$ 21. $$ \int\left(3 t^{2}+\frac{t}{2}ight) d t $$ 22. $$ \int\left(\frac{t^{2}}{2}+4 t^{3}ight) d t $$ c) $$ -\frac{1}{3} x^{-4 / 3} $$ c) $$ \cos \frac{\pi x}{2}+\pi \cos x $$ 27. $$ \int x^{-1 / 3} d x $$ 13. a) $$ \sec ^{2} x $$ b) $$ \frac{2}{3} \sec ^{2} \frac{x}{3} $$ 14. a) $$ \csc ^{2} x $$ b) $$ -\frac{3}{2} \csc ^{2} \frac{3 x}{2} $$ c) $$ -\sec ^{2} \frac{3 x}{2} $$ c) $$ 1-8 \csc ^{2} 2 x $$ 29. $$ \int(\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}) d x $$ 31. $$ \int\left(8 y-\frac{2}{y^{1 / 4}}ight) d y $$ 24. $$ \int\left(1-x^{2}-3 x^{5}ight) d x $$ 26. $$ \int\left(\frac{1}{5}-\frac{2}{x^{3}}+2 xight) d t $$ 28. $$ \int x^{-5 / 4} d x $$ 30. $$ \int\left(\frac{\sqrt{x}}{2}+\frac{2}{\sqrt{x}}ight) d x $$ 32. $$ \int\left(\frac{1}{7}-\frac{1}{y^{5 / 4}}ight) d y $$

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Para encontrar la antiderivada de la función $$ \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3} $$, primero necesitamos integrar cada término por separado.

1. La antiderivada de $$ \frac{1}{x^{2}} $$ es $$ -\frac{1}{x} $$.
2. La antiderivada de $$ -x^{2} $$ es $$ -\frac{x^{3}}{3} $$.
3. La antiderivada de $$ -\frac{1}{3} $$ es $$ -\frac{x}{3} $$.

Por lo tanto, la antiderivada de la función $$ \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3} $$ es $$ -\frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3} $$.
La antiderivada de $$ \frac{1}{x^{2}} - x^{2} - \frac{1}{3} $$ es $$ -\frac{1}{x} - \frac{x^{3}}{3} - \frac{x}{3} $$.

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