11. Ein Dreieck \( A B C \) mit \( c=4 \mathrm{~cm}, \alpha=60^{\circ} \) und \( h_{c}=3 \mathrm{~cm} \) wird durch eine zentrische Streckung auf ein Dreieck \( A^{\prime} B^{\prime} C^{\prime} \) mit dem Flächeninhalt \( 13.5 \mathrm{~cm}^{2} \) abgebildet. Wie gross sind \( c^{\prime}, \alpha^{\prime} \) und \( h_{c}^{\prime} \) im Bilddreieck?

Um die Größen \( c^{\prime}, \alpha^{\prime} \) und \( h_{c}^{\prime} \) im Bilddreieck zu bestimmen, nutzen wir die Regeln der zentrischen Streckung. Zuerst berechnen wir die Fläche des Originaldreiecks \( A B C \). Die Fläche \( A \) eines Dreiecks lässt sich mit der Formel \( A = \frac{1}{2} \cdot c \cdot h_{c} \) berechnen. Das ergibt: \[ A = \frac{1}{2} \cdot 4 \, \text{cm} \cdot 3 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm}^2 \] Der Flächeninhalt des Bilddreiecks \( A' B' C' \) ist gegeben mit \( 13.5 \, \text{cm}^2 \). Um den Streckfaktor \( k \) zu bestimmen, setzen wir die Flächenverhältnisse in Beziehung: \[ k^2 = \frac{A'}{A} = \frac{13.5 \, \text{cm}^2}{6 \, \text{cm}^2} = 2.25 \implies k = \sqrt{2.25} = 1.5 \] Somit ist der Streckfaktor \( k = 1.5 \). Nun berechnen wir die neuen Größen: 1. \[ c^{\prime} = k \cdot c = 1.5 \cdot 4 \, \text{cm} = 6 \, \text{cm} \] 2. \[ \alpha^{\prime} = \alpha = 60^{\circ} \quad (\text{da die Winkel bei zentrischer Streckung unverändert bleiben}) \] 3. \[ h_{c}^{\prime} = k \cdot h_{c} = 1.5 \cdot 3 \, \text{cm} = 4.5 \, \text{cm} \] Zusammenfassend erhalten wir: \[ c^{\prime} = 6 \, \text{cm}, \alpha^{\prime} = 60^{\circ}, h_{c}^{\prime} = 4.5 \, \text{cm} \]