2. Иван и Петр договорились встретиться между 1 часом и 2 часами дня. Каждый приходит в назначенное место в случайный момент данного промежутка времени и ждет другого в течение N минут, но не позже 2 часов дня, после чего уходит. Обозначая х момент прихода Ивана, у - момент прихода Петра, построить на плоскости Оху пространство элементарных событий, а также области, отвечающие событиям: A - встреча состоялась; B - Иван ушел, не дождавшись Петра. Найти вероятности этих событий.

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Для решения данной задачи начнем с анализа условий.

1. **Известные условия:**
   - Иван и Петр приходят в случайный момент времени между 1 и 2 часами дня.
   - Каждый из них ждет другого в течение $$ N $$ минут.
   - Если один из них не дождется другого, он уходит.

2. **Обозначения:**
   - Пусть $$ x $$ — момент прихода Ивана (в минутах после 1 часа).
   - Пусть $$ y $$ — момент прихода Петра (в минутах после 1 часа).
   - Таким образом, $$ x, y \in [0, 60] $$.

3. **Построение пространства элементарных событий:**
   - На плоскости $$ Oxy $$ мы можем изобразить квадрат со сторонами от 0 до 60. Это будет пространство всех возможных моментов прихода Ивана и Петра.

4. **Области событий:**
   - **Событие A (встреча состоялась):** Иван и Петр встречаются, если разница между их приходами не превышает $$ N $$ минут. Это можно записать как:
     $$
     |x - y| \leq N
     $$
   - В графическом представлении это будет область между двумя линиями:
     $$
     y = x + N \quad \text{и} \quad y = x - N
     $$
   - **Событие B (Иван ушел, не дождавшись Петра):** Это происходит, если Петр приходит позже, чем Иван, и разница между их приходами превышает $$ N $$ минут:
     $$
     y > x + N
     $$

5. **Нахождение вероятностей:**
   - Площадь всего пространства элементарных событий (квадрат) равна $$ 60 \times 60 = 3600 $$.
   - Площадь области A (встреча состоялась) можно найти, учитывая, что это два треугольника, образованные линиями $$ y = x + N $$ и $$ y = x - N $$ внутри квадрата.
   - Площадь области B (Иван ушел) также можно найти, учитывая, что это треугольник, который находится выше линии $$ y = x + N $$.

Теперь давайте вычислим площади этих областей и найдем вероятности.

### Площадь области A
1. Если $$ N \leq 60 $$:
   - Площадь области A будет равна:
     $$
     \text{Площадь A} = 60^2 - 2 \cdot \frac{(60 - N)^2}{2} = 3600 - (60 - N)^2
     $$

### Площадь области B
2. Площадь области B:
   - Площадь треугольника, который находится выше линии $$ y = x + N $$:
     $$
     \text{Площадь B} = \frac{1}{2} \cdot (60 - N) \cdot (60 - N) = \frac{(60 - N)^2}{2}
     $$

Теперь найдем вероятности событий A и B:
- Вероятность A:
  $$
  P(A) = \frac{\text{Площадь A}}{3600}
  $$
- Вероятность B:
  $$
  P(B) = \frac{\text{Площадь B}}{3600}
  $$

Теперь подставим значения и вычислим вероятности.

### Вычисления
Давайте проведем вычисления для вероятностей.

1. Площадь A:
   $$
   \text{Площадь A} = 3600 - (60 - N)^2
   $$
2. Площадь B:
   $$
   \text{Площадь B} = \frac{(60 - N)^2}{2}
   $$

Теперь найдем вероятности.

### Вероятности
- Вероятность A:
$$
P(A) = \frac{3600 - (60 - N)^2}{3600}
$$
- Вероятность B:
$$
P(B) = \frac{\frac{(60 - N)^2}{2}}{3600}
$$

Теперь подставим $$ N $$ и вычислим. Если у вас есть конкретное значение $$ N $$, пожалуйста, предоставьте его, и я выполню окончательные вычисления.
На плоскости $$ Oxy $$ построено пространство элементарных событий с координатами $$ x $$ и $$ y $$ от 0 до 60 минут. Область событий A (встреча состоялась) представляет собой область между линиями $$ y = x + N $$ и $$ y = x - N $$. Область событий B (Иван ушел, не дождавшись Петра) — это треугольник выше линии $$ y = x + N $$. Вероятность A равна $$ \frac{3600 - (60 - N)^2}{3600} $$, а вероятность B равна $$ \frac{(60 - N)^2}{7200} $$.

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

Extra Insights

Related Questions

Latest Probability Questions