Calcule \( \int \sin (x) e^{2 x} d x \)

Para resolver la integral \( \int \sin (x) e^{2 x} \, dx \), podemos emplear el método de integración por partes o la técnica de integración por partes repetida, en este caso, es más conveniente utilizar la forma tabular. Primero, definimos: - \( u = \sin(x) \) y \( dv = e^{2x} dx \) Calculamos las derivadas y antiderivadas: - \( du = \cos(x) dx \) - \( v = \frac{1}{2} e^{2x} \) Aplicamos integración por partes: \[ \int u \, dv = uv - \int v \, du \] Sustituyendo: \[ \int \sin(x) e^{2x} \, dx = \sin(x) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} - \int \frac{1}{2} e^{2x} \cos(x) \, dx \] Ahora calculamos \( \int \cos(x) e^{2x} \, dx \) de la misma manera, definiendo: - \( u = \cos(x) \) y \( dv = e^{2x} \, dx \) Calculamos: - \( du = -\sin(x) dx \) - \( v = \frac{1}{2} e^{2x} \) Aplicando nuevamente la integración por partes, tenemos: \[ \int \cos(x) e^{2x} \, dx = \cos(x) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin(x) \, dx \] Sustituyendo de nuevo en nuestra ecuación original: \[ \int \sin(x) e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} \sin(x) e^{2x} - \frac{1}{2} \left( \cos(x) \cdot \frac{1}{2} e^{2x} + \frac{1}{2} \int e^{2x} \sin(x) \, dx \right) \] Simplificando, obtenemos: \[ \int \sin(x) e^{2x} \, dx = \frac{1}{2} e^{2x} \sin(x) - \frac{1}{4} e^{2x} \cos(x) - \frac{1}{4} \int \sin(x) e^{2x} \, dx \] Multiplicamos toda la ecuación por 4 para deshacernos del denominador: \[ 4 \int \sin(x) e^{2x} \, dx = 2 e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x) - \int \sin(x) e^{2x} \, dx \] Sumamos \( \int \sin(x) e^{2x} \, dx \) a ambos lados: \[ 5 \int \sin(x) e^{2x} \, dx = 2 e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x) \] Por lo tanto, la expresión para la integral es: \[ \int \sin(x) e^{2x} \, dx = \frac{1}{5}(2 e^{2x} \sin(x) - e^{2x} \cos(x)) + C \] Finalmente, \[ \int \sin(x) e^{2x} \, dx = \frac{e^{2x}}{5}(2 \sin(x) - \cos(x)) + C \]