17. \( \iiint_{E} x d V \), où \( E \) est borné par le paraboloïde \( x=4 y^{2}+4 z^{2} \) et le plan \( x=4 \).

Nous devons calculer \[ \iiint_{E} x\, dV, \] où la région \( E \) est délimitée par le paraboloïde \[ x = 4y^2 + 4z^2 \] et le plan \( x = 4 \). Pour simplifier le calcul, nous utilisons la transformation en coordonnées cylindriques pour les variables \( y \) et \( z \). Posons \[ y = r\cos\theta,\quad z = r\sin\theta, \] avec le jacobien \( r \). Le paraboloïde devient \[ x = 4r^2. \] La limite donnée par le plan \( x = 4 \) impose la condition \[ 4r^2 \leq 4 \quad \Rightarrow \quad r \leq 1. \] Ainsi, les bornes de l'intégrale sont : - Pour \( \theta \) : de \( 0 \) à \( 2\pi \), - Pour \( r \) : de \( 0 \) à \( 1 \), - Pour \( x \) : de \( x = 4r^2 \) à \( x = 4 \). L’intégrale s’écrit donc : \[ \iiint_{E} x\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} \int_{x=4r^2}^{4} x \, dx\, \left( r\,dr\,d\theta \right). \] Nous commençons par intégrer par rapport à \( x \) : \[ \int_{x=4r^2}^{4} x\,dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{x=4r^2}^{4} = \frac{1}{2}\left(4^2 - (4r^2)^2 \right) = \frac{1}{2}\left(16 - 16r^4 \right) = 8\,(1-r^4). \] L’intégrale devient alors : \[ \iiint_{E} x\, dV = \int_{\theta=0}^{2\pi} \int_{r=0}^{1} 8\,(1-r^4)\, r\,dr\,d\theta. \] Nous intégrons d’abord par rapport à \( r \) : \[ \int_{0}^{1} 8r\,(1-r^4)\, dr = 8\left(\int_{0}^{1} r\,dr - \int_{0}^{1} r^5\,dr\right). \] Calculons séparément les intégrales : \[ \int_{0}^{1} r\,dr = \left[\frac{r^2}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \] \[ \int_{0}^{1} r^5\,dr = \left[\frac{r^6}{6}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{6}. \] Ainsi, \[ 8\left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 8\left(\frac{3-1}{6}\right) = 8\left(\frac{2}{6}\right) = 8\left(\frac{1}{3}\right) = \frac{8}{3}. \] Ensuite, intégrons par rapport à \( \theta \) : \[ \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi. \] Le résultat final est donc : \[ \iiint_{E} x\, dV = \frac{8}{3}\times 2\pi = \frac{16\pi}{3}. \]