Tangenti all'ellisse Scrivi le equazioni delle rette tangenti all'ellisse di quazione \( 4 x^{2}+y^{2}=4 \), passanti per il punto \( P(-2,0) \) \( \left[\begin{array}{l}y= \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}(x+2)\end{array}\right. \)

Per trovare le equazioni delle rette tangenti all'ellisse data dall'equazione \( 4x^2 + y^2 = 4 \) che passano per il punto \( P(-2, 0) \), seguiamo questi passaggi: 1. **Identificazione dell'ellisse**: L'equazione dell'ellisse può essere riscritta come: \[ \frac{x^2}{1} + \frac{y^2}{4} = 1 \] Questo indica che l'ellisse ha semiassi \( a = 1 \) e \( b = 2 \). 2. **Forma generale della retta**: La retta tangente all'ellisse in un punto \( (x_0, y_0) \) può essere espressa come: \[ \frac{x_0}{1}(x - x_0) + \frac{y_0}{4}(y - y_0) = 0 \] Semplificando, otteniamo: \[ x_0 x + \frac{y_0}{4} y = x_0^2 + \frac{y_0^2}{4} \] 3. **Condizione di tangente**: Dobbiamo trovare i punti \( (x_0, y_0) \) sull'ellisse che soddisfano la condizione che la retta passa per \( P(-2, 0) \). Sostituiamo \( x = -2 \) e \( y = 0 \) nell'equazione della retta: \[ x_0(-2) + \frac{y_0}{4}(0) = x_0^2 + \frac{y_0^2}{4} \] Questo si semplifica a: \[ -2x_0 = x_0^2 + \frac{y_0^2}{4} \] 4. **Sostituzione di \( y_0 \)**: Dall'equazione dell'ellisse, abbiamo \( y_0^2 = 4 - 4x_0^2 \). Sostituiamo \( y_0^2 \) nell'equazione precedente: \[ -2x_0 = x_0^2 + \frac{4 - 4x_0^2}{4} \] Semplificando, otteniamo: \[ -2x_0 = x_0^2 + 1 - x_0^2 \] \[ -2x_0 = 1 \] Da cui: \[ x_0 = -\frac{1}{2} \] 5. **Calcolo di \( y_0 \)**: Sostituiamo \( x_0 \) nell'equazione dell'ellisse per trovare \( y_0 \): \[ 4(-\frac{1}{2})^2 + y_0^2 = 4 \] \[ 4 \cdot \frac{1}{4} + y_0^2 = 4 \] \[ 1 + y_0^2 = 4 \implies y_0^2 = 3 \implies y_0 = \pm \sqrt{3} \] 6. **Equazioni delle tangenti**: Ora abbiamo i punti di tangente \( (-\frac{1}{2}, \sqrt{3}) \) e \( (-\frac{1}{2}, -\sqrt{3}) \). Le equazioni delle tangenti sono quindi: \[ y - \sqrt{3} = m(x + \frac{1}{2}) \quad \text{e} \quad y + \sqrt{3} = m(x + \frac{1}{2}) \] dove \( m \) è la pendenza della retta tangente. Calcoliamo \( m \) usando la derivata dell'ellisse: \[ \frac{dy}{dx} = -\frac{4x}{y} \] Per \( x_0 = -\frac{1}{2} \) e \( y_0 = \sqrt{3} \): \[ m = -\frac{4(-\frac{1}{2})}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \] Le equazioni delle tangenti diventano: \[ y = \frac{2\sqrt{3}}{3}(x + 2) \quad \text{e} \quad y = -\frac{2\sqrt{3}}{3}(x + 2) \] Quindi, le equazioni delle rette tangenti all'ellisse che passano per il punto \( P(-2, 0) \) sono: \[ \left[\begin{array}{l}y= \pm \frac{2 \sqrt{3}}{3}(x+2)\end{array}\right. \]