\( \left. \begin{array} { l } { \int \frac { x + 5 } { \sqrt { 9 - ( x - 3 ) ^ { 2 } } } d x } \\ { \left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 9 \quad u ^ { 2 } = ( x - 3 ) ^ { 2 } \quad x = u + 3 } \\ { a = x - 3 } \\ { d u = d x } \end{array} \right. } \\ { = \int \frac { u + 3 + 5 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \\ { = \int \frac { u + 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \\ { = \int \frac { u } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u + \int \frac { 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \end{array} \right. \)

Queremos evaluar la siguiente integral:   ∫ (x + 5) / √[9 – (x – 3)²] dx Se propone el cambio de variable u = x – 3, lo cual implica:   x = u + 3  y  dx = du. Reemplazamos en la integral:   ∫ [(u + 3) + 5] / √[9 – u²] du = ∫ (u + 8)/√(9 – u²) du Podemos separar la integral en dos términos:   I = ∫ u/√(9 – u²) du + 8∫ 1/√(9 – u²) du A continuación, evaluamos cada una por separado. 1. Para el primer término, ∫ u/√(9 – u²) du:   Hacemos la derivada inversa de la función √(9 – u²). Observa que:   d/du [–√(9 – u²)] = – (1/(2√(9 – u²)))(–2u) = u/√(9 – u²) Por lo tanto:   ∫ u/√(9 – u²) du = –√(9 – u²) + C₁ 2. Para el segundo término, 8∫ 1/√(9 – u²) du:   Recordamos que la integral ∫ du/√(a² – u²) = arcsin(u/a) + C, siendo a² = 9 ⇒ a = 3.   Luego:   ∫ du/√(9 – u²) = arcsin(u/3) + C₂  y multiplicando por 8:   8∫ du/√(9 – u²) = 8·arcsin(u/3) + C₂ Uniendo ambos resultados y considerando que u = x – 3, la solución general de la integral es:   –√[9 – (x – 3)²] + 8·arcsin((x – 3)/3) + C donde C es la constante de integración. Esta es la solución final en español.