$$ \left. \begin{array} { l } { \int \frac { x + 5 } { \sqrt { 9 - ( x - 3 ) ^ { 2 } } } d x } \ { \left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 9 \quad u ^ { 2 } = ( x - 3 ) ^ { 2 } \quad x = u + 3 } \ { a = x - 3 } \ { d u = d x } \end{array} ight. } \ { = \int \frac { u + 3 + 5 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \ { = \int \frac { u + 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \ { = \int \frac { u } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u + \int \frac { 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { \int \frac { x + 5 } { \sqrt { 9 - ( x - 3 ) ^ { 2 } } } d x } \ { \left. \begin{array} { l } { a ^ { 2 } = 9 \quad u ^ { 2 } = ( x - 3 ) ^ { 2 } \quad x = u + 3 } \ { a = x - 3 } \ { d u = d x } \end{array} ight. } \ { = \int \frac { u + 3 + 5 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \ { = \int \frac { u + 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \ { = \int \frac { u } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u + \int \frac { 8 } { \sqrt { a ^ { 2 } - u ^ { 2 } } } d u } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Queremos evaluar la siguiente integral:

∫ (x + 5) / √[9 – (x – 3)²] dx

Se propone el cambio de variable u = x – 3, lo cual implica:
  x = u + 3  y  dx = du.

Reemplazamos en la integral:

∫ [(u + 3) + 5] / √[9 – u²] du = ∫ (u + 8)/√(9 – u²) du

Podemos separar la integral en dos términos:

I = ∫ u/√(9 – u²) du + 8∫ 1/√(9 – u²) du

A continuación, evaluamos cada una por separado.

1. Para el primer término, ∫ u/√(9 – u²) du:

Hacemos la derivada inversa de la función √(9 – u²). Observa que:
  d/du [–√(9 – u²)] = – (1/(2√(9 – u²)))(–2u) = u/√(9 – u²)

Por lo tanto:
  ∫ u/√(9 – u²) du = –√(9 – u²) + C₁

2. Para el segundo término, 8∫ 1/√(9 – u²) du:

Recordamos que la integral ∫ du/√(a² – u²) = arcsin(u/a) + C, siendo a² = 9 ⇒ a = 3.
  Luego:
  ∫ du/√(9 – u²) = arcsin(u/3) + C₂  y multiplicando por 8:
  8∫ du/√(9 – u²) = 8·arcsin(u/3) + C₂

Uniendo ambos resultados y considerando que u = x – 3, la solución general de la integral es:

–√[9 – (x – 3)²] + 8·arcsin((x – 3)/3) + C

donde C es la constante de integración.

Esta es la solución final en español.
La integral se resuelve reemplazando $$ u = x - 3 $$, lo que da: $$ \int \frac{u + 8}{\sqrt{9 - u^2}} \, du = -\sqrt{9 - u^2} + 8 \arcsin\left(\frac{u}{3}\right) + C $$ Sustituyendo de vuelta $$ u = x - 3 $$: $$ -\sqrt{9 - (x - 3)^2} + 8 \arcsin\left(\frac{x - 3}{3}\right) + C $$ Donde $$ C $$ es la constante de integración.

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

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Solución

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