Considere a curva definida pela função \( y=f(x)=x e^{x} \). Escolha uma opção: a. A equação da reta normal ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=-2 x \). b. A equação da reta normal ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=-x / 2 \). c. A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=x \). A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=x / 2 \). d.

Vamos analisar a função   f(x) = x·eˣ e determinar as equações da reta tangente e da reta normal ao gráfico de f no ponto (0, 0). 1. Cálculo do ponto:   f(0) = 0·e⁰ = 0   Logo, o ponto é (0, 0). 2. Cálculo da derivada (fórmula do produto):   f '(x) = d/dx (x·eˣ) = eˣ + x·eˣ = eˣ(1 + x)   No ponto x = 0:     f '(0) = e⁰·(1 + 0) = 1 3. Equação da reta tangente:   A reta tangente tem coef. angular m = f '(0) = 1 e passa por (0,0), logo:     y – 0 = 1·(x – 0) ⟹ y = x 4. Equação da reta normal:   A reta normal é perpendicular à tangente. Assim, seu coeficiente angular será o negativo do inverso de 1, isto é, m_normal = –1.   Como passa por (0,0):     y = –x Analisando as opções fornecidas: a) Afirma que a reta normal é y = –2x. Isso está incorreto (pois a normal correta é y = –x). b) Afirma que a reta normal é y = –x/2. Também está incorreto. c) Apresenta duas afirmações sobre a reta tangente: uma delas diz que a reta tangente é y = x e a outra que é y = x/2. Verificamos que a reta tangente correta é y = x, e y = x/2 não é a reta tangente. d) A opção d não apresenta conteúdo. Portanto, a única informação correta encontrada é que a reta tangente ao gráfico no ponto (0,0) é y = x. Se a intenção da questão era identificar essa reta tangente, a alternativa que menciona corretamente a reta tangente é a opção c, embora contenha também uma informação incorreta (y = x/2). É provável que a opção c estivesse apenas enfatizando a reta tangente como y = x. Concluindo, a alternativa correta é a que afirma que a reta tangente ao gráfico no ponto (0,0) é y = x.