Considere a curva definida pela função \( y=f(x)=x e^{x} \). Escolha uma opção: a. A equação da reta normal ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=-2 x \). b. A equação da reta normal ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=-x / 2 \). c. A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=x \). A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y=x / 2 \). d.

Para resolver o problema, precisamos encontrar a derivada da função \( f(x) = x e^{x} \) e avaliá-la no ponto \( (0,0) \). A derivada \( f'(x) \) é dada por \( f'(x) = e^{x} + x e^{x} \). No ponto \( x = 0 \), temos \( f'(0) = e^{0} + 0 \cdot e^{0} = 1 \). Portanto, a inclinação da reta tangente no ponto \( (0,0) \) é \( 1 \), o que significa que a equação da reta tangente é \( y = x \). A inclinação da reta normal, então, é o oposto do inverso da inclinação da tangente, resultando em \( -1 \). Assim, a reta normal no ponto \( (0,0) \) tem a equação \( y = -x \). Vendo as opções disponíveis, a única correta é a que menciona a reta tangente como: "A equação da reta tangente ao gráfico de no ponto \( (0,0) \) é \( y = x \)". Portanto, a opção correta é a **c**. Mas não se esqueça! O cálculo e a definição de tangente e normal são fundamentais para muitos conceitos em cálculo, especialmente em otimização e análise de gráficos. Esses conceitos são usados frequentemente em engenharia, física e economia, onde a compreensão do comportamento local de funções pode salvar o dia.