y. Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos $$ A(1,3) $$ y $$ B(-4,2) $$ y la recta que pasa por los puntos $$ C(-5,4) $$ $$ A x+b y+c=0 $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

1. Para la recta que pasa por $$ A(1,3) $$ y $$ B(-4,2) $$ se puede calcular su pendiente mediante la fórmula

$$
m_{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}.
$$

Sustituyendo los valores se tiene

$$
m_{AB}=\frac{2-3}{-4-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}.
$$

2. La recta de forma general

$$
Ax+by+c=0
$$

tiene pendiente

$$
m_2=-\frac{A}{b}.
$$

Además se nos dice que esta recta pasa por el punto $$ C(-5,4) $$; sin embargo, para determinar el ángulo entre ambas rectas sólo es necesario conocer la pendiente, es decir, la relación $$ -\frac{A}{b} $$.

3. El ángulo $$\theta$$ entre dos rectas de pendientes $$ m_1 $$ y $$ m_2 $$ viene dado por

$$
\tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|.
$$

En nuestro caso, $$ m_1=\frac{1}{5} $$ y $$ m_2=-\frac{A}{b} $$; por lo tanto,

$$
\tan \theta=\left|\frac{-\frac{A}{b}-\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{5}\left(-\frac{A}{b}\right)}\right|.
$$

4. Para simplificar se escribe numerador y denominador con común denominador. En el numerador:

$$
-\frac{A}{b}-\frac{1}{5}=-\frac{5A+ b}{5b}.
$$

En el denominador:

$$
1-\frac{A}{5b}=\frac{5b-A}{5b}.
$$

Por lo tanto,

$$
\tan \theta=\left|\frac{-\frac{5A+b}{5b}}{\frac{5b-A}{5b}}\right|=\left|\frac{-(5A+b)}{5b-A}\right|.
$$

Como se toma el valor absoluto, se puede escribir

$$
\tan \theta=\left|\frac{5A+b}{A-5b}\right|.
$$

5. Finalmente, el ángulo formado entre la recta que pasa por $$ A $$ y $$ B $$ y la recta $$ Ax+by+c=0 $$ es

$$
\theta=\arctan\left(\left|\frac{5A+b}{A-5b}\right|\right).
$$

Esta es la expresión del ángulo en función de los coeficientes $$ A $$ y $$ b $$ de la recta que pasa también por $$ C(-5,4) $$.
El ángulo entre las dos rectas es $$ \theta = \arctan\left(\left|\frac{5A + b}{A - 5b}\right|\right) $$.

y. Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos y y la recta que pasa por los puntos

Upstudy AI Solution

Answer

Solution

The Deep Dive

Related Questions

Latest Geometry Questions