y. Determina el ángulo que forma la recta que pasan por los puntos \( A(1,3) \) y \( B(-4,2) \) y la recta que pasa por los puntos \( C(-5,4) \) \[ A x+b y+c=0 \]

1. Para la recta que pasa por \( A(1,3) \) y \( B(-4,2) \) se puede calcular su pendiente mediante la fórmula \[ m_{AB}=\frac{y_{B}-y_{A}}{x_{B}-x_{A}}. \] Sustituyendo los valores se tiene \[ m_{AB}=\frac{2-3}{-4-1}=\frac{-1}{-5}=\frac{1}{5}. \] 2. La recta de forma general \[ Ax+by+c=0 \] tiene pendiente \[ m_2=-\frac{A}{b}. \] Además se nos dice que esta recta pasa por el punto \( C(-5,4) \); sin embargo, para determinar el ángulo entre ambas rectas sólo es necesario conocer la pendiente, es decir, la relación \( -\frac{A}{b} \). 3. El ángulo \(\theta\) entre dos rectas de pendientes \( m_1 \) y \( m_2 \) viene dado por \[ \tan \theta=\left|\frac{m_2-m_1}{1+m_1 m_2}\right|. \] En nuestro caso, \( m_1=\frac{1}{5} \) y \( m_2=-\frac{A}{b} \); por lo tanto, \[ \tan \theta=\left|\frac{-\frac{A}{b}-\frac{1}{5}}{1+\frac{1}{5}\left(-\frac{A}{b}\right)}\right|. \] 4. Para simplificar se escribe numerador y denominador con común denominador. En el numerador: \[ -\frac{A}{b}-\frac{1}{5}=-\frac{5A+ b}{5b}. \] En el denominador: \[ 1-\frac{A}{5b}=\frac{5b-A}{5b}. \] Por lo tanto, \[ \tan \theta=\left|\frac{-\frac{5A+b}{5b}}{\frac{5b-A}{5b}}\right|=\left|\frac{-(5A+b)}{5b-A}\right|. \] Como se toma el valor absoluto, se puede escribir \[ \tan \theta=\left|\frac{5A+b}{A-5b}\right|. \] 5. Finalmente, el ángulo formado entre la recta que pasa por \( A \) y \( B \) y la recta \( Ax+by+c=0 \) es \[ \theta=\arctan\left(\left|\frac{5A+b}{A-5b}\right|\right). \] Esta es la expresión del ángulo en función de los coeficientes \( A \) y \( b \) de la recta que pasa también por \( C(-5,4) \).