arercice $$ n^{\circ} 4 $$ : Réduis au même dénominateur, calcule puis simplifie lorsque c'est possible. $$ =\frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30} $$ $$ \begin{array}{l} u=\frac{7}{6}+\frac{5}{12}+\frac{3}{16} \ u=7 \ u= \end{array} $$ $$ v=\frac{1}{2}+\frac{5}{4}+\frac{4}{5} $$ $$ \mathbf{v}= $$ $$ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16} $$ $$ \begin{array}{l} Y=\frac{4}{9}+\frac{B}{15}-\frac{2}{3} \ Y= \ Y= \end{array} $$ $$ z=\frac{1}{6}-\frac{8}{27}-\frac{7}{18} $$ $$ \mathbf{z}= $$ $$ z= $$

Question

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**1) Calcul de** $$ \frac{1}{3}+\frac{1}{12}+\frac{1}{30} $$  
Pour ajouter ces fractions, nous cherchons un dénominateur commun.  
- $$3 = 3$$  
- $$12 = 2^2\times3$$  
- $$30 = 2\times3\times5$$  
Le PPCM est $$2^2\times3\times5=60$$.

On réécrit chaque fraction avec $$60$$ pour dénominateur :  
$$
\frac{1}{3}=\frac{1\times20}{3\times20}=\frac{20}{60},\quad \frac{1}{12}=\frac{1\times5}{12\times5}=\frac{5}{60},\quad \frac{1}{30}=\frac{1\times2}{30\times2}=\frac{2}{60}.
$$

On additionne :  
$$
\frac{20}{60}+\frac{5}{60}+\frac{2}{60}=\frac{20+5+2}{60}=\frac{27}{60}.
$$
La fraction se simplifie en divisant le numérateur et le dénominateur par $$3$$ :  
$$
\frac{27\div3}{60\div3}=\frac{9}{20}.
$$

---

**2) Calcul de** $$ u=\frac{7}{6}+\frac{5}{12}+\frac{3}{16} $$  
Les dénominateurs sont $$6$$, $$12$$ et $$16$$.  
- $$6 = 2\times3$$  
- $$12 = 2^2\times3$$  
- $$16 = 2^4$$

Le PPCM est $$2^4\times3=16\times3=48$$.

On convertit :  
$$
\frac{7}{6}=\frac{7\times8}{6\times8}=\frac{56}{48},\quad \frac{5}{12}=\frac{5\times4}{12\times4}=\frac{20}{48},\quad \frac{3}{16}=\frac{3\times3}{16\times3}=\frac{9}{48}.
$$

Addition :  
$$
u=\frac{56+20+9}{48}=\frac{85}{48}.
$$

---

**3) Calcul de** $$ v=\frac{1}{2}+\frac{5}{4}+\frac{4}{5} $$  
Les dénominateurs sont $$2$$, $$4$$ et $$5$$.  
Le PPCM de $$2$$, $$4$$ et $$5$$ est $$20$$ (puisque $$4=2^2$$ et $$5$$ est premier).

On écrit :  
$$
\frac{1}{2}=\frac{1\times10}{2\times10}=\frac{10}{20},\quad \frac{5}{4}=\frac{5\times5}{4\times5}=\frac{25}{20},\quad \frac{4}{5}=\frac{4\times4}{5\times4}=\frac{16}{20}.
$$

Addition :  
$$
v=\frac{10+25+16}{20}=\frac{51}{20}.
$$

---

**4) Calcul de** $$ \frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\frac{1}{16} $$  
Les dénominateurs sont $$4$$, $$8$$ et $$16$$.  
Le dénominateur commun est $$16$$.

On a :  
$$
\frac{1}{4}=\frac{1\times4}{4\times4}=\frac{4}{16},\quad \frac{1}{8}=\frac{1\times2}{8\times2}=\frac{2}{16}.
$$

Addition et soustraction :  
$$
\frac{4}{16}+\frac{2}{16}-\frac{1}{16}=\frac{4+2-1}{16}=\frac{5}{16}.
$$

---

**5) Calcul de** $$ Y=\frac{4}{9}+\frac{B}{15}-\frac{2}{3} $$  
Les dénominateurs sont $$9$$, $$15$$ et $$3$$.  
Les facteurs premiers :  
- $$9=3^2$$  
- $$15=3\times5$$  
- $$3=3$$  
Le PPCM est $$3^2\times5=45$$.

On convertit les fractions :  
$$
\frac{4}{9}=\frac{4\times5}{9\times5}=\frac{20}{45},\quad \frac{B}{15}=\frac{B\times3}{15\times3}=\frac{3B}{45},\quad \frac{2}{3}=\frac{2\times15}{3\times15}=\frac{30}{45}.
$$

On additionne et soustrait :  
$$
Y=\frac{20+3B-30}{45}=\frac{3B-10}{45}.
$$

---

**6) Calcul de** $$ z=\frac{1}{6}-\frac{8}{27}-\frac{7}{18} $$  
Les dénominateurs sont $$6$$, $$27$$ et $$18$$.  
Les décompositions en facteurs premiers :  
- $$6=2\times3$$  
- $$27=3^3$$  
- $$18=2\times3^2$$  
Le PPCM est $$2\times3^3=54$$.

On réécrit :  
$$
\frac{1}{6}=\frac{1\times9}{6\times9}=\frac{9}{54},\quad \frac{8}{27}=\frac{8\times2}{27\times2}=\frac{16}{54},\quad \frac{7}{18}=\frac{7\times3}{18\times3}=\frac{21}{54}.
$$

Calcul :  
$$
z=\frac{9-16-21}{54}=\frac{9-37}{54}=\frac{-28}{54}.
$$
On simplifie en divisant par $$2$$ :  
$$
z=-\frac{14}{27}.
$$
1. $$ \frac{1}{3} + \frac{1}{12} + \frac{1}{30} = \frac{9}{20} $$ 2. $$ u = \frac{7}{6} + \frac{5}{12} + \frac{3}{16} = \frac{85}{48} $$ 3. $$ v = \frac{1}{2} + \frac{5}{4} + \frac{4}{5} = \frac{51}{20} $$ 4. $$ \frac{1}{4} + \frac{1}{8} - \frac{1}{16} = \frac{5}{16} $$ 5. $$ Y = \frac{4}{9} + \frac{B}{15} - \frac{2}{3} = \frac{3B - 10}{45} $$ 6. $$ z = \frac{1}{6} - \frac{8}{27} - \frac{7}{18} = -\frac{14}{27} $$

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