Question
15. Scomponi in fattori primi il numero sotto radice, ed estrai tutti i fattori con esponente pari. Indica il risultato senza approssimare. a) \( \sqrt{200} \) b) \( \sqrt{2000} \) c) \( \sqrt{576} \) \( [10 \sqrt{2} ; 20 \sqrt{5} ; 24 \)
Ask by Hart Dickson. in Italy
Feb 24,2025
Upstudy AI Solution
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Answer
a) \( 10\sqrt{2} \)
b) \( 20\sqrt{5} \)
c) \( 24 \)
Solution
Procediamo con i calcoli per ogni punto:
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a) √200
1. Scomponiamo 200 in fattori primi:
200 = 2 · 100 = 2 · (2² · 25) = 2³ · 5²
2. Scriviamo la radice:
√200 = √(2³ · 5²) = √(2² · 5² · 2)
3. Estraiamo i fattori con esponente pari:
√(2²) = 2 e √(5²) = 5
4. Riscriviamo:
√200 = 2 · 5 · √2 = 10√2
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b) √2000
1. Scomponiamo 2000 in fattori primi:
2000 = 2 · 1000 = 2 · (10³) = 2 · (2³ · 5³) = 2⁴ · 5³
2. Scriviamo la radice:
√2000 = √(2⁴ · 5³) = √(2⁴ · 5² · 5)
3. Estraendo i fattori con esponente pari:
√(2⁴) = 2² = 4 e √(5²) = 5
4. Riscriviamo:
√2000 = 4 · 5 · √5 = 20√5
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c) √576
1. Scomponiamo 576 in fattori primi:
576 = 2⁶ · 3²
(verifica: 2⁶ = 64, 3² = 9, e 64 · 9 = 576)
2. Tutti gli esponenti sono pari, quindi si estrae l’intero prodotto:
√576 = 2^(6/2) · 3^(2/2) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24
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Risposte finali:
a) 10√2 b) 20√5 c) 24
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Per scomporre \(200\) in fattori primi, si ha \(200 = 2^3 \cdot 5^2\). Qui, estraiamo i fattori con esponente pari, ottenendo \(5\), quindi \( \sqrt{200} = 10 \sqrt{2} \). Prendiamo \(2000\) e notiamo che si scompone in \(2000 = 2^4 \cdot 5^3\). Estraggo l'unico fattore con esponente pari: \(2^4\) dà \(4\), lasciando \(5^{3/2} = 5\sqrt{5}\), perchè \(5\) ha esponente dispari. Così, abbiamo \( \sqrt{2000} = 20\sqrt{5} \). Infine, per \(576\), la scomposizione è \(576 = 2^6 \cdot 3^2\). Qui, tutti gli esponenti sono pari, quindi si ottiene \( \sqrt{576} = 24\).
