15. Scomponi in fattori primi il numero sotto radice, ed estrai tutti i fattori con esponente pari. Indica il risultato senza approssimare. a) \( \sqrt{200} \) b) \( \sqrt{2000} \) c) \( \sqrt{576} \) \( [10 \sqrt{2} ; 20 \sqrt{5} ; 24 \)

Procediamo con i calcoli per ogni punto: ───────────────────────────── a) √200 1. Scomponiamo 200 in fattori primi:   200 = 2 · 100 = 2 · (2² · 25) = 2³ · 5² 2. Scriviamo la radice:   √200 = √(2³ · 5²) = √(2² · 5² · 2) 3. Estraiamo i fattori con esponente pari:   √(2²) = 2 e √(5²) = 5 4. Riscriviamo:   √200 = 2 · 5 · √2 = 10√2 ───────────────────────────── b) √2000 1. Scomponiamo 2000 in fattori primi:   2000 = 2 · 1000 = 2 · (10³) = 2 · (2³ · 5³) = 2⁴ · 5³ 2. Scriviamo la radice:   √2000 = √(2⁴ · 5³) = √(2⁴ · 5² · 5) 3. Estraendo i fattori con esponente pari:   √(2⁴) = 2² = 4 e √(5²) = 5 4. Riscriviamo:   √2000 = 4 · 5 · √5 = 20√5 ───────────────────────────── c) √576 1. Scomponiamo 576 in fattori primi:   576 = 2⁶ · 3²   (verifica: 2⁶ = 64, 3² = 9, e 64 · 9 = 576) 2. Tutti gli esponenti sono pari, quindi si estrae l’intero prodotto:   √576 = 2^(6/2) · 3^(2/2) = 2³ · 3 = 8 · 3 = 24 ───────────────────────────── Risposte finali: a) 10√2  b) 20√5  c) 24