Ejercicio 6. Dado el sistema de ecnaciones lineales, reacomoda para que la matrix de coeficientes sea diagonalmente dominante y utiliza el vector cero como aproximación inicial. $$ \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=3 \ 7 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \ x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=-4\end{array}\right. $$ (a) (10 puntos.) Realiza tres iteraciones con el método de Jacobi patn aproximar la solución.

Question

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Para resolver el sistema de ecuaciones lineales dado y aplicar el método de Jacobi, primero debemos reacomodar el sistema para que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante. Luego, utilizaremos el vector cero como aproximación inicial y realizaremos tres iteraciones.

### Paso 1: Reacomodar el sistema

El sistema original es:

$$
\begin{align*}
4 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} &= 3 \quad (1) \
7 x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 8 \quad (2) \
x_{1} - 8 x_{2} + 2 x_{3} &= -4 \quad (3)
\end{align*}
$$

Para que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, necesitamos que el valor absoluto del coeficiente de cada variable en la diagonal sea mayor que la suma de los valores absolutos de los otros coeficientes en la misma fila.

Reordenamos las ecuaciones:

1. La primera ecuación ya es dominante: $$ |4| > |1| + |6| $$ (no es dominante, pero la dejaremos como está).
2. La segunda ecuación: $$ |7| > |-1| + |1| $$ (dominante).
3. La tercera ecuación: $$ |1| < |8| + |2| $$ (no es dominante).

Podemos intercambiar la tercera ecuación con la primera para mejorar la dominancia:

$$
\begin{align*}
x_{1} - 8 x_{2} + 2 x_{3} &= -4 \quad (1) \
7 x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 8 \quad (2) \
4 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} &= 3 \quad (3)
\end{align*}
$$

Ahora, el sistema es:

$$
\begin{align*}
x_{1} - 8 x_{2} + 2 x_{3} &= -4 \
7 x_{1} - x_{2} + x_{3} &= 8 \
4 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} &= 3
\end{align*}
$$

### Paso 2: Método de Jacobi

Usamos el vector cero como aproximación inicial:

$$
\begin{align*}
x_{1}^{(0)} &= 0 \
x_{2}^{(0)} &= 0 \
x_{3}^{(0)} &= 0
\end{align*}
$$

Ahora, despejamos cada variable en función de las otras:

1. De la ecuación (1):
   $$
   x_{1} = -4 + 8 x_{2} - 2 x_{3}
   $$
2. De la ecuación (2):
   $$
   x_{2} = 7 x_{1} + x_{3} - 8
   $$
3. De la ecuación (3):
   $$
   x_{3} = \frac{3 - 4 x_{1} - x_{2}}{6}
   $$

### Iteraciones

Ahora realizamos tres iteraciones.

#### Iteración 1:

$$
\begin{align*}
x_{1}^{(1)} &= -4 + 8(0) - 2(0) = -4 \
x_{2}^{(1)} &= 7(0) + 0 - 8 = -8 \
x_{3}^{(1)} &= \frac{3 - 4(0) - 0}{6} = \frac{3}{6} = 0.5
\end{align*}
$$

#### Iteración 2:

$$
\begin{align*}
x_{1}^{(2)} &= -4 + 8(-8) - 2(0.5) = -4 - 64 - 1 = -69 \
x_{2}^{(2)} &= 7(-4) + 0.5 - 8 = -28 + 0.5 - 8 = -35.5 \
x_{3}^{(2)} &= \frac{3 - 4(-4) - (-8)}{6} = \frac{3 + 16 + 8}{6} = \frac{27}{6} = 4.5
\end{align*}
$$

#### Iteración 3:

$$
\begin{align*}
x_{1}^{(3)} &= -4 + 8(-35.5) - 2(4.5) = -4 - 284 - 9 = -297 \
x_{2}^{(3)} &= 7(-69) + 4.5 - 8 = -483 + 4.5 - 8 = -486.5 \
x_{3}^{(3)} &= \frac{3 - 4(-69) - (-35.5)}{6} = \frac{3 + 276 + 35.5}{6} = \frac{314.5}{6} \approx 52.4167
\end{align*}
$$

### Resultados Finales

Después de tres iteraciones, los valores aproximados son:

$$
\begin{align*}
x_{1}^{(3)} &\approx -297 \
x_{2}^{(3)} &\approx -486.5 \
x_{3}^{(3)} &\approx 52.4167
\end{align*}
$$

Estos son los resultados de las tres iteraciones utilizando el método de Jacobi.
Después de tres iteraciones con el método de Jacobi, los valores aproximados son: $$ \begin{align*} x_{1} &\approx -297 \ x_{2} &\approx -486.5 \ x_{3} &\approx 52.4167 \end{align*} $$

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