Ejercicio 6. Dado el sistema de ecnaciones lineales, reacomoda para que la matrix de coeficientes sea diagonalmente dominante y utiliza el vector cero como aproximación inicial. \[ \left\{\begin{array}{l}4 x_{1}+x_{2}+6 x_{3}=3 \\ 7 x_{1}-x_{2}+x_{3}=8 \\ x_{1}-8 x_{2}+2 x_{3}=-4\end{array}\right. \] (a) (10 puntos.) Realiza tres iteraciones con el método de Jacobi patn aproximar la solución.
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Para reacomodar el sistema de ecuaciones lineales y asegurar que la matriz de coeficientes sea diagonalmente dominante, ordenamos las ecuaciones de modo que el coeficiente principal en cada fila sea el más grande en su columna. Reacomodando, el sistema queda de la siguiente manera: \[ \left\{\begin{array}{l} 7 x_{1} - x_{2} + x_{3} = 8 \\ 4 x_{1} + x_{2} + 6 x_{3} = 3 \\ x_{1} - 8 x_{2} + 2 x_{3} = -4 \end{array}\right. \] Ahora, apliquemos el método de Jacobi usando el vector cero como aproximación inicial, i.e., \( x^{(0)} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \). **Iteración 1:** - \( x_1^{(1)} = \frac{8 + 0 + 0}{7} = \frac{8}{7} \approx 1.14 \) - \( x_2^{(1)} = \frac{3 - 4(0) - 6(0)}{1} = 3 \) - \( x_3^{(1)} = \frac{-4 - 0 + 8(0)}{2} = -2 \) Entonces, \( x^{(1)} \approx \begin{bmatrix} 1.14 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \). **Iteración 2:** - \( x_1^{(2)} = \frac{8 + (-3) + (-2)}{7} = \frac{3}{7} \approx 0.43 \) - \( x_2^{(2)} = \frac{3 - 4(1.14) - 6(-2)}{1} = 3 - 4.56 + 12 = 10.44 \) - \( x_3^{(2)} = \frac{-4 - 0.43 + 8(10.44)}{2} = \frac{79.04 - 4}{2} = \frac{75.04}{2} \approx 37.52 \) Entonces, \( x^{(2)} \approx \begin{bmatrix} 0.43 \\ 10.44 \\ 37.52 \end{bmatrix} \). **Iteración 3:** - \( x_1^{(3)} = \frac{8 + (-10.44) + (-37.52)}{7} = \frac{-39.96}{7} \approx -5.71 \) - \( x_2^{(3)} = \frac{3 - 4(0.43) - 6(37.52)}{1} = 3 - 1.72 - 225.12 = -223.84 \) - \( x_3^{(3)} = \frac{-4 - (-5.71) + 8(-10.44)}{2} = \frac{-4 + 5.71 - 83.52}{2} = \frac{-81.81}{2} \approx -40.91 \) Entonces, \( x^{(3)} \approx \begin{bmatrix} -5.71 \\ -223.84 \\ -40.91 \end{bmatrix} \). Después de tres iteraciones, tenemos las aproximaciones: - Iteración 1: \( \begin{bmatrix} 1.14 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix} \) - Iteración 2: \( \begin{bmatrix} 0.43 \\ 10.44 \\ 37.52 \end{bmatrix} \) - Iteración 3: \( \begin{bmatrix} -5.71 \\ -223.84 \\ -40.91 \end{bmatrix} \) ¡Y ahí lo tienes! Cada iteración nos acerca un poco más a la solución real del sistema de ecuaciones. ¡Buena suerte con tus cálculos!
