Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las ropiedades de los logaritmos. \[ \begin{array}{ll} \left.\log (x \cdot y \cdot \sqrt[3]{z})^{c}\right) & \log \left(\frac{a \cdot b^{3}}{c^{2} \cdot \sqrt{d}}\right) \\ \left.\log \left(\frac{a \cdot \sqrt{b}}{c+d}\right)^{5} d\right) & \ln \left(\frac{a \cdot(b-d)}{\sqrt[3]{d}}\right) \end{array} \] ) Exprese como logaritmo único teniendo en cuenta las ropiedades del logaritmo. \[ \begin{array}{l} \log x-\log y+\log z \\ \quad a \log 2+5 \log 3-b \log 6 \end{array} \] \( 2 \log a+3 \log b-\log c \) d) \( 1 / 2 \log a+\log b-3 / 2 \log c \) 0) Calcula las siguientes potencias y escribelas en forma e logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: \[ 5^{3}=125 \Leftrightarrow \log _{5} 125=3 \] a) \( 7^{2} \) d) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \) g) \( 5^{-3} \) b) \( 3^{5} \) c) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{2} \) c) \( 10^{6} \) h) \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-2} \) f) \( 2^{7} \) i) \( 6^{-2} \)

1) Sea \[ E_{1}=\log\Bigl((x\cdot y\cdot \sqrt[3]{z})^{c}\Bigr). \] Aplicamos la propiedad de la potencia: \[ E_{1}=c\,\log\Bigl(x\cdot y\cdot \sqrt[3]{z}\Bigr). \] Luego usamos la propiedad del producto: \[ E_{1}=c\Bigl[\log x+\log y+\log\Bigl(z^{\frac{1}{3}}\Bigr)\Bigr]. \] Y finalmente, aplicamos la potencia al último término: \[ E_{1}=c\,\log x+c\,\log y+\frac{c}{3}\,\log z. \] 2) Sea \[ E_{2}=\log\left(\frac{a\cdot b^{3}}{c^{2}\cdot \sqrt{d}}\right). \] Primero, escribimos la raíz como potencia: \(\sqrt{d}=d^{\frac{1}{2}}\). Luego utilizamos la propiedad del cociente: \[ E_{2}=\log\bigl(a\cdot b^{3}\bigr)-\log\bigl(c^{2}\cdot d^{\frac{1}{2}}\bigr). \] Aplicamos la propiedad del producto en cada logaritmo: \[ E_{2}=\log a+\log b^{3}-\log c^{2}-\log d^{\frac{1}{2}}. \] Y usando la propiedad de la potencia: \[ E_{2}=\log a+3\log b-2\log c-\tfrac{1}{2}\log d. \] 3) Sea \[ E_{3}=\log\left[\Bigl(\frac{a\cdot \sqrt{b}}{c+d}\Bigr)^{5}\cdot d\right]. \] Utilizamos la propiedad del producto en logaritmos: \[ E_{3}=\log\Bigl[\Bigl(\frac{a\cdot \sqrt{b}}{c+d}\Bigr)^{5}\Bigr]+\log d. \] Luego aplicamos la propiedad de la potencia: \[ E_{3}=5\,\log\Bigl(\frac{a\cdot\sqrt{b}}{c+d}\Bigr)+\log d. \] Ahora, escribimos \(\sqrt{b}=b^{\frac{1}{2}}\) y descomponemos el logaritmo del cociente: \[ \log\Bigl(\frac{a\cdot b^{\frac{1}{2}}}{c+d}\Bigr)=\log a+\tfrac{1}{2}\,\log b-\log(c+d). \] Por lo que \[ E_{3}=5\log a+\frac{5}{2}\,\log b-5\log(c+d)+\log d. \] 4) Sea \[ E_{4}=\ln\left(\frac{a\cdot (b-d)}{\sqrt[3]{d}}\right). \] Notamos que \(\sqrt[3]{d}=d^{\frac{1}{3}}\). Entonces, usando la propiedad del cociente: \[ E_{4}=\ln\bigl(a\cdot (b-d)\bigr)-\ln\left(d^{\frac{1}{3}}\right). \] Aplicamos la propiedad del producto y de la potencia: \[ E_{4}=\ln a+\ln(b-d)-\frac{1}{3}\ln d. \] --- a) Expresar como logaritmo único: i) Sea \[ L_{1}=\log x-\log y+\log z. \] Utilizando las propiedades de logaritmos (producto y cociente) se tiene: \[ L_{1}=\log\frac{x\cdot z}{y}. \] ii) Sea \[ L_{2}=a\log 2+5\log 3-b\log 6. \] Primero, escribimos cada término con la propiedad de la potencia: \[ L_{2}=\log\Bigl(2^{\,a}\Bigr)+\log\Bigl(3^{5}\Bigr)-\log\Bigl(6^{\,b}\Bigr). \] Luego, combinando propiedades de logaritmos: \[ L_{2}=\log\frac{2^{a}\cdot 3^{5}}{6^{b}}. \] Recordando que \(6^{b}=(2\cdot 3)^{b}=2^{b}\cdot 3^{b}\), se puede simplificar a: \[ L_{2}=\log\left(2^{a-b}\cdot 3^{5-b}\right). \] iii) Sea \[ L_{3}=2\log a+3\log b-\log c. \] Usando la propiedad de la potencia: \[ L_{3}=\log a^{2}+\log b^{3}-\log c=\log\frac{a^{2}\cdot b^{3}}{c}. \] iv) Sea \[ L_{4}=\frac{1}{2}\log a+\log b-\frac{3}{2}\log c. \] Aplicamos la propiedad de la potencia: \[ L_{4}=\log a^{\frac{1}{2}}+\log b-\log c^{\frac{3}{2}}=\log\frac{a^{\frac{1}{2}}\cdot b}{c^{\