Desarrolla las siguientes expresiones aplicando las ropiedades de los logaritmos. \[ \begin{array}{ll} \left.\log (x \cdot y \cdot \sqrt[3]{z})^{c}\right) & \log \left(\frac{a \cdot b^{3}}{c^{2} \cdot \sqrt{d}}\right) \\ \left.\log \left(\frac{a \cdot \sqrt{b}}{c+d}\right)^{5} d\right) & \ln \left(\frac{a \cdot(b-d)}{\sqrt[3]{d}}\right) \end{array} \] ) Exprese como logaritmo único teniendo en cuenta las ropiedades del logaritmo. \[ \begin{array}{l} \log x-\log y+\log z \\ \quad a \log 2+5 \log 3-b \log 6 \end{array} \] \( 2 \log a+3 \log b-\log c \) d) \( 1 / 2 \log a+\log b-3 / 2 \log c \) 0) Calcula las siguientes potencias y escribelas en forma e logaritmo, tal y como se indica en el ejemplo: \[ 5^{3}=125 \Leftrightarrow \log _{5} 125=3 \] a) \( 7^{2} \) d) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} \) g) \( 5^{-3} \) b) \( 3^{5} \) c) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{2} \) c) \( 10^{6} \) h) \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-2} \) f) \( 2^{7} \) i) \( 6^{-2} \)

Para las expresiones que hay que desarrollar: 1. La primera expresión se convierte en: \[ \log (x \cdot y \cdot \sqrt[3]{z})^{c} = c \cdot (\log x + \log y + \frac{1}{3} \log z). \] 2. La segunda expresión se simplifica a: \[ \log \left(\frac{a \cdot b^{3}}{c^{2} \cdot \sqrt{d}}\right) = \log a + 3 \log b - 2 \log c - \frac{1}{2} \log d. \] 3. Para la tercera se tiene: \[ \log \left(\frac{a \cdot \sqrt{b}}{c+d}\right)^{5} d = 5(\log a + \frac{1}{2} \log b - \log(c + d)) + \log d. \] 4. Finalmente, la cuarta expresión se transforma en: \[ \ln \left(\frac{a \cdot (b-d)}{\sqrt[3]{d}}\right) = \ln a + \ln (b-d) - \frac{1}{3} \ln d. \] Para expresar como logaritmo único: 1. \( \log x - \log y + \log z = \log \left(\frac{x \cdot z}{y}\right) \). 2. \( a \log 2 + 5 \log 3 - b \log 6 = \log \left(2^{a} \cdot 3^{5} \cdot 6^{-b}\right) \). 3. \( 2 \log a + 3 \log b - \log c = \log \left(\frac{a^{2} \cdot b^{3}}{c}\right) \). 4. \( \frac{1}{2} \log a + \log b - \frac{3}{2} \log c = \log \left(\frac{b}{c^{3/2} \sqrt{a}}\right) \). Para calcular las potencias en forma de logaritmo: a) \( 7^{2} = 49 \Leftrightarrow \log_{7} 49 = 2 \). b) \( 3^{5} = 243 \Leftrightarrow \log_{3} 243 = 5 \). c) \( \left(\frac{1}{9}\right)^{2} = \frac{1}{81} \Leftrightarrow \log_{\frac{1}{9}} \frac{1}{81} = 2 \). d) \( \left(\frac{2}{3}\right)^{2} = \frac{4}{9} \Leftrightarrow \log_{\frac{2}{3}} \frac{4}{9} = 2 \). e) \( 10^{6} = 1000000 \Leftrightarrow \log_{10} 1000000 = 6 \). f) \( 2^{7} = 128 \Leftrightarrow \log_{2} 128 = 7 \). g) \( 5^{-3} = \frac{1}{125} \Leftrightarrow \log_{5} \frac{1}{125} = -3 \). h) \( \left(\frac{5}{3}\right)^{-2} = \frac{9}{25} \Leftrightarrow \log_{\frac{5}{3}} \frac{9}{25} = -2 \). i) \( 6^{-2} = \frac{1}{36} \Leftrightarrow \log_{6} \frac{1}{36} = -2 \).