$$ { }^{\circ} \cos 50^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} $$ даныз: $$ \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha $$ $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha)}{3 \pi+\alpha)}\right.}{\left.\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha\right)} $$

Question

UpStudy AI · Accepted Answer

Давайте решим каждую из частей вашего запроса по порядку.

### Часть 1: $$ \cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} $$

Сначала упростим выражение. Мы знаем, что $$ \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ} $$ (так как $$ \sin(90^{\circ} - x) = \cos x $$). Таким образом, мы можем переписать выражение:

$$
\cos 50^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ}
$$

Теперь применим формулу произведения:

$$
\cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)]
$$

где $$ A = 10^{\circ} $$ и $$ B = 50^{\circ} $$:

$$
\cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ} = \frac{1}{2} [\sin(60^{\circ}) - \sin(-40^{\circ})]
$$

Теперь подставим это обратно в выражение:

$$
\cos 50^{\circ} + \frac{1}{2} [\sin(60^{\circ}) + \sin(40^{\circ})]
$$

Теперь вычислим $$ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$ и $$ \sin(40^{\circ}) $$ (это значение можно оставить как есть или вычислить, если нужно).

### Часть 2: $$ \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha $$

Упростим первую часть:

$$
\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \sin \alpha \left( \frac{1}{1+\cos \alpha} + \frac{1}{1-\cos \alpha} \right)
$$

Объединим дроби:

$$
= \sin \alpha \left( \frac{(1-\cos \alpha) + (1+\cos \alpha)}{(1+\cos \alpha)(1-\cos \alpha)} \right) = \sin \alpha \left( \frac{2}{1 - \cos^2 \alpha} \right) = \sin \alpha \left( \frac{2}{\sin^2 \alpha} \right) = \frac{2 \sin \alpha}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha}
$$

Теперь подставим это в выражение:

$$
\frac{2}{\sin \alpha} \cdot \sin 2 \alpha
$$

Зная, что $$ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$:

$$
= \frac{2}{\sin \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha
$$

### Часть 3: $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha} $$

Упростим знаменатель:

$$
\frac{3 \pi}{\pi} + \alpha = 3 + \alpha
$$

Таким образом, выражение становится:

$$
\frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha}
$$

Теперь у нас есть все части, и мы можем подвести итог:

1. $$ \cos 50^{\circ} + \cos 10^{\circ} \sin 50^{\circ} $$ требует дальнейших вычислений для окончательного значения.
2. $$ \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha = 4 \cos \alpha $$
3. $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha} $$ остается в таком виде.

Если вам нужно больше информации или дальнейшие вычисления, дайте знать!
Давайте разберем каждую часть вашего вопроса: 1. **Первая часть**: $$ \cos 50^{\circ} + \sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} $$ - Используем формулу $$ \sin 80^{\circ} = \cos 10^{\circ} $$. - Применяем формулу произведения: $$ \cos A \sin B = \frac{1}{2} [\sin(A + B) - \sin(A - B)] $$. - Получаем: $$ \cos 50^{\circ} + \frac{1}{2} [\sin(60^{\circ}) + \sin(40^{\circ})] $$. - Вычисляем $$ \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} $$. - Окончательное выражение: $$ \cos 50^{\circ} + \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 40^{\circ} \right) $$. 2. **Вторая часть**: $$ \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha $$ - Объединяем дроби: $$ \frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha} + \frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha} = \sin \alpha \left( \frac{1}{1+\cos \alpha} + \frac{1}{1-\cos \alpha} \right) $$. - Применяем формулу: $$ \frac{1}{1+\cos \alpha} + \frac{1}{1-\cos \alpha} = \frac{2}{1 - \cos^2 \alpha} = \frac{2}{\sin^2 \alpha} $$. - Получаем: $$ \sin \alpha \cdot \frac{2}{\sin^2 \alpha} = \frac{2}{\sin \alpha} $$. - Умножаем на $$ \sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha $$: $$ \frac{2}{\sin \alpha} \cdot 2 \sin \alpha \cos \alpha = 4 \cos \alpha $$. 3. **Третья часть**: $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha} $$ - Упрощаем знаменатель: $$ \frac{3 \pi}{\pi} + \alpha = 3 + \alpha $$. - Получаем: $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha} $$. **Итог**: 1. $$ \cos 50^{\circ} + \frac{1}{2} \left( \frac{\sqrt{3}}{2} + \sin 40^{\circ} \right) $$ 2. $$ 4 \cos \alpha $$ 3. $$ \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha}{3 \pi+\alpha}\right)}{3 + \alpha} $$ Если вам нужно больше информации или дальнейшие вычисления, дайте знать!

\( { }^{\circ} \cos 50^{\circ}+\sin 80^{\circ} \sin 50^{\circ} \) даныз: \( \left(\frac{\sin \alpha}{1+\cos \alpha}+\frac{\sin \alpha}{1-\cos \alpha}\right) \cdot \sin 2 \alpha \) \( \frac{\cos \left(\frac{2 \pi+\alpha)}{3 \pi+\alpha)}\right.}{\left.\frac{3 \pi}{\pi}+\alpha\right)} \)

Solución de inteligencia artificial de Upstudy

Responder

Solución

The Deep Dive

preguntas relacionadas

Latest Trigonometry Questions