50. Determinaţi valorile parametrului real \( m \) pentru care graficul funcțici \( f: R \rightarrow R \), \( f(x)=\sqrt[3]{x^{2}+m x+1} \) are tangentă in fiecare punct \( x \in R \).

Pentru a determina valorile parametrului real \( m \) pentru care graficul funcției \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 + mx + 1} \) are tangentă în fiecare punct \( x \in \mathbb{R} \), trebuie să ne asigurăm că funcția este derivabilă în fiecare punct din \( \mathbb{R} \). Funcția \( f(x) \) este definită ca o funcție compusă, iar pentru a verifica derivabilitatea, vom calcula derivata acesteia. Folosim regula derivării funcțiilor compuse: \[ f'(x) = \frac{1}{3} (x^2 + mx + 1)^{-\frac{2}{3}} \cdot (2x + m) \] Pentru ca \( f'(x) \) să fie definită în fiecare punct \( x \in \mathbb{R} \), trebuie ca termenul \( (x^2 + mx + 1) \) să fie diferit de zero pentru orice \( x \in \mathbb{R} \). Așadar, trebuie să ne asigurăm că polinomul \( x^2 + mx + 1 \) nu are rădăcini reale. Pentru a determina condițiile în care \( x^2 + mx + 1 \) nu are rădăcini reale, calculăm discriminantul: \[ D = m^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = m^2 - 4 \] Pentru ca polinomul să nu aibă rădăcini reale, trebuie ca discriminantul să fie negativ: \[ m^2 - 4 < 0 \] Rezolvăm această inegalitate: \[ m^2 < 4 \] Aceasta se traduce în: \[ -2 < m < 2 \] Astfel, valorile parametrului real \( m \) pentru care graficul funcției \( f(x) = \sqrt[3]{x^2 + mx + 1} \) are tangentă în fiecare punct \( x \in \mathbb{R} \) sunt: \[ m \in (-2, 2) \]