$$ \left. \begin{array} { l } { \int y ^ { 2 } \sin n y d y } \ { \int x a ^ { x } d x = a ^ { x } } \end{array} ight. $$

Question

$$ \left. \begin{array} { l } { \int y ^ { 2 } \sin n y d y } \ { \int x a ^ { x } d x = a ^ { x } } \end{array} ight. $$

UpStudy AI · Accepted Answer

Para resolver las integrales dadas, procederemos paso a paso.

1. **Integral $$ \int y^2 \sin(ny) \, dy $$**:
   Para resolver esta integral, utilizaremos la técnica de integración por partes. La fórmula de integración por partes es:

$$
   \int u \, dv = uv - \int v \, du
   $$

Elegimos:
   - $$ u = y^2 $$  $$\Rightarrow du = 2y \, dy$$
   - $$ dv = \sin(ny) \, dy $$  $$\Rightarrow v = -\frac{1}{n} \cos(ny)$$

Aplicamos la fórmula:

$$
   \int y^2 \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) - \int -\frac{1}{n} \cdot 2y \cos(ny) \, dy
   $$

Simplificamos:

$$
   = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n} \int y \cos(ny) \, dy
   $$

Ahora, necesitamos resolver $$ \int y \cos(ny) \, dy $$ nuevamente usando integración por partes. Elegimos:
   - $$ u = y $$  $$\Rightarrow du = dy$$
   - $$ dv = \cos(ny) \, dy $$  $$\Rightarrow v = \frac{1}{n} \sin(ny)$$

Aplicamos la fórmula de nuevo:

$$
   \int y \cos(ny) \, dy = \frac{1}{n} y \sin(ny) - \int \frac{1}{n} \sin(ny) \, dy
   $$

La integral de $$ \sin(ny) $$ es:

$$
   \int \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} \cos(ny)
   $$

Entonces, combinamos todo:

$$
   \int y \cos(ny) \, dy = \frac{1}{n} y \sin(ny) + \frac{1}{n^2} \cos(ny)
   $$

Sustituyendo esto de nuevo en nuestra integral original:

$$
   \int y^2 \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n} \left( \frac{1}{n} y \sin(ny) + \frac{1}{n^2} \cos(ny) \right)
   $$

Finalmente, simplificamos:

$$
   = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n^2} y \sin(ny) + \frac{2}{n^3} \cos(ny) + C
   $$

2. **Integral $$ \int x a^x \, dx = a^x $$**:
   Esta integral se puede resolver usando la regla de integración para funciones exponenciales. La integral de $$ x a^x $$ se puede resolver usando integración por partes, donde:

- $$ u = x $$  $$\Rightarrow du = dx$$
   - $$ dv = a^x \, dx $$  $$\Rightarrow v = \frac{a^x}{\ln(a)}$$

Aplicamos la fórmula de integración por partes:

$$
   \int x a^x \, dx = x \cdot \frac{a^x}{\ln(a)} - \int \frac{a^x}{\ln(a)} \, dx
   $$

La integral de $$ a^x $$ es:

$$
   \int a^x \, dx = \frac{a^x}{\ln(a)}
   $$

Entonces, combinamos:

$$
   \int x a^x \, dx = \frac{x a^x}{\ln(a)} - \frac{a^x}{(\ln(a))^2} + C
   $$

En resumen, las soluciones son:

1. $$ \int y^2 \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n^2} y \sin(ny) + \frac{2}{n^3} \cos(ny) + C $$

2. $$ \int x a^x \, dx = \frac{x a^x}{\ln(a)} - \frac{a^x}{(\ln(a))^2} + C $$
Para resolver la primera integral $$ \int y^2 \sin(ny) \, dy $$, se utiliza la integración por partes y se obtiene: $$ \int y^2 \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n^2} y \sin(ny) + \frac{2}{n^3} \cos(ny) + C $$ Para la segunda integral $$ \int x a^x \, dx $$, se aplica la regla de integración para funciones exponenciales y se encuentra: $$ \int x a^x \, dx = \frac{x a^x}{\ln(a)} - \frac{a^x}{(\ln(a))^2} + C $$ En resumen, las soluciones son: 1. $$ \int y^2 \sin(ny) \, dy = -\frac{1}{n} y^2 \cos(ny) + \frac{2}{n^2} y \sin(ny) + \frac{2}{n^3} \cos(ny) + C $$ 2. $$ \int x a^x \, dx = \frac{x a^x}{\ln(a)} - \frac{a^x}{(\ln(a))^2} + C $$

\( \left. \begin{array} { l } { \int y ^ { 2 } \sin n y d y } \\ { \int x a ^ { x } d x = a ^ { x } } \end{array} \right. \)

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