2. Analizar la veracidad o falsedad de las siguientes proposiciones. Justificar adecuadamente. \( \begin{array}{ll}\text { a) } \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+x+1=0 & \text { b) } \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+1>0 \\ \text { c) } \exists x \in \mathbb{R} / x=-x & \text { d) } \forall x \in \mathbb{R}: \exists x^{-1} \in \mathbb{R} / x \cdot x^{-1}=1 \\ \text { e) } \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R} / x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2} & \text { f) } \exists x \in \mathbb{R} / \forall y \in \mathbb{R}: x+y=0\end{array} \)

Vamos a analizar la veracidad o falsedad de cada una de las proposiciones dadas, justificando adecuadamente cada respuesta. ### a) \( \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+x+1=0 \) **Análisis:** La ecuación \( x^{2} + x + 1 = 0 \) es un polinomio cuadrático. Para determinar si tiene soluciones reales, calculamos el discriminante \( D \): \[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 \] Dado que el discriminante es negativo (\( D < 0 \)), no hay soluciones reales. **Conclusión:** Falsa. --- ### b) \( \exists x \in \mathbb{R} / x^{2}+1>0 \) **Análisis:** La expresión \( x^{2} + 1 \) es siempre positiva para cualquier \( x \in \mathbb{R} \) porque \( x^{2} \geq 0 \) y al sumar 1, el resultado siempre será mayor que 0. **Conclusión:** Verdadera. --- ### c) \( \exists x \in \mathbb{R} / x=-x \) **Análisis:** La ecuación \( x = -x \) implica que \( 2x = 0 \), lo que lleva a \( x = 0 \). Por lo tanto, existe un número real que satisface esta condición. **Conclusión:** Verdadera. --- ### d) \( \forall x \in \mathbb{R}: \exists x^{-1} \in \mathbb{R} / x \cdot x^{-1}=1 \) **Análisis:** La proposición afirma que para todo \( x \in \mathbb{R} \), existe un inverso \( x^{-1} \) tal que \( x \cdot x^{-1} = 1 \). Sin embargo, esto no es cierto para \( x = 0 \), ya que no existe un número real que multiplicado por 0 dé 1. **Conclusión:** Falsa. --- ### e) \( \forall x \in \mathbb{R}: \exists y \in \mathbb{R} / x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2} \) **Análisis:** Desarrollamos la ecuación: \[ x^{2} + y^{2} = (x+y)^{2} \implies x^{2} + y^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2} \] Esto se simplifica a \( 0 = 2xy \). Esto implica que \( xy = 0 \). Por lo tanto, para cada \( x \), podemos elegir \( y = 0 \) (o \( x = 0 \)) para que la igualdad se cumpla. **Conclusión:** Verdadera. --- ### f) \( \exists x \in \mathbb{R} / \forall y \in \mathbb{R}: x+y=0 \) **Análisis:** La proposición afirma que existe un \( x \) tal que para cualquier \( y \), \( x + y = 0 \). Esto implica que \( y = -x \) para cualquier \( y \), lo cual no es posible, ya que \( y \) puede tomar cualquier valor real. **Conclusión:** Falsa. --- ### Resumen de las conclusiones: - a) Falsa - b) Verdadera - c) Verdadera - d) Falsa - e) Verdadera - f) Falsa